Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114132 / 17908
↖ ↑ ↗
← N 78.356065°
E133.472900°		 ← 61.64 m → N 78.356065°
E133.475647°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.355510°
E133.472900°		 ← 61.65 m →
3 802 m²		 N 78.355510°
E133.475647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870761871337891 y=0.136631011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870761871337891 × 217)
    floor (0.870761871337891 × 131072)
    floor (114132.5)     		tx = 114132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136631011962891 × 217)
    floor (0.136631011962891 × 131072)
    floor (17908.5)     		ty = 17908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114132 / 17908 ti = "17/114132/17908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114132/17908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114132 ÷ 217
    114132 ÷ 131072     		x = 0.870758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17908 ÷ 217
    17908 ÷ 131072     		y = 0.136627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870758056640625 × 2 - 1) × π
    0.74151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32954157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136627197265625 × 2 - 1) × π
    0.72674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28313865510403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32954157} λ = 2.32954157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28313865510403))-π/2
    2×atan(9.80741424361909)-π/2
    2×1.46918382186071-π/2
    2.93836764372142-1.57079632675     		φ = 1.36757132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32954157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.472900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36757132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.356065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114132 KachelY 17908 2.32954157 1.36757132 133.472900 78.356065
    Oben rechts KachelX + 1 114133 KachelY 17908 2.32958951 1.36757132 133.475647 78.356065
    Unten links KachelX 114132 KachelY + 1 17909 2.32954157 1.36756164 133.472900 78.355510
    Unten rechts KachelX + 1 114133 KachelY + 1 17909 2.32958951 1.36756164 133.475647 78.355510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36757132-1.36756164) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36757132-1.36756164) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32954157-2.32958951) × cos(1.36757132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201829013543055 × 6371000     		do = 61.6437758148171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32954157-2.32958951) × cos(1.36756164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201838494326675 × 6371000     		du = 61.6466714901701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36757132)-sin(1.36756164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201829013543055-0.201838494326675)×R²
    abs(2.32958951-2.32954157)×9.48078362020266e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48078362020266e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48078362020266e-06×40589641000000     		ar = 3801.73984852058m²