Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114132 / 17844
↖ ↑ ↗
← N 78.391489°
E133.472900°		 ← 61.46 m → N 78.391489°
E133.475647°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.390936°
E133.472900°		 ← 61.46 m →
3 779 m²		 N 78.390936°
E133.475647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870761871337891 y=0.136142730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870761871337891 × 217)
    floor (0.870761871337891 × 131072)
    floor (114132.5)     		tx = 114132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136142730712891 × 217)
    floor (0.136142730712891 × 131072)
    floor (17844.5)     		ty = 17844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114132 / 17844 ti = "17/114132/17844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114132/17844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114132 ÷ 217
    114132 ÷ 131072     		x = 0.870758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17844 ÷ 217
    17844 ÷ 131072     		y = 0.136138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870758056640625 × 2 - 1) × π
    0.74151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32954157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136138916015625 × 2 - 1) × π
    0.72772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28620661667972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32954157} λ = 2.32954157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28620661667972))-π/2
    2×atan(9.83754921650795)-π/2
    2×1.46949295899066-π/2
    2.93898591798132-1.57079632675     		φ = 1.36818959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32954157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.472900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36818959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.391489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114132 KachelY 17844 2.32954157 1.36818959 133.472900 78.391489
    Oben rechts KachelX + 1 114133 KachelY 17844 2.32958951 1.36818959 133.475647 78.391489
    Unten links KachelX 114132 KachelY + 1 17845 2.32954157 1.36817994 133.472900 78.390936
    Unten rechts KachelX + 1 114133 KachelY + 1 17845 2.32958951 1.36817994 133.475647 78.390936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36818959-1.36817994) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dl = 61.4801499998228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36818959-1.36817994) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dr = 61.4801499998228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32954157-2.32958951) × cos(1.36818959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201223428525363 × 6371000     		do = 61.4588145626559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32954157-2.32958951) × cos(1.36817994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201232881128814 × 6371000     		du = 61.4617016310598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36818959)-sin(1.36817994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201223428525363-0.201232881128814)×R²
    abs(2.32958951-2.32954157)×9.45260345072696e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.45260345072696e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.45260345072696e-06×40589641000000     		ar = 3778.58588688807m²