Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114131 / 17842
↖ ↑ ↗
← N 78.392594°
E133.470154°		 ← 61.44 m → N 78.392594°
E133.472900°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.392042°
E133.470154°		 ← 61.44 m →
3 774 m²		 N 78.392042°
E133.472900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870754241943359 y=0.136127471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870754241943359 × 217)
    floor (0.870754241943359 × 131072)
    floor (114131.5)     		tx = 114131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136127471923828 × 217)
    floor (0.136127471923828 × 131072)
    floor (17842.5)     		ty = 17842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114131 / 17842 ti = "17/114131/17842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114131/17842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114131 ÷ 217
    114131 ÷ 131072     		x = 0.870750427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17842 ÷ 217
    17842 ÷ 131072     		y = 0.136123657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870750427246094 × 2 - 1) × π
    0.741500854492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.32949364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136123657226562 × 2 - 1) × π
    0.727752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28630249047896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32949364} λ = 2.32949364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28630249047896))-π/2
    2×atan(9.83849242494031)-π/2
    2×1.46950260456497-π/2
    2.93900520912994-1.57079632675     		φ = 1.36820888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32949364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.470154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36820888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.392594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114131 KachelY 17842 2.32949364 1.36820888 133.470154 78.392594
    Oben rechts KachelX + 1 114132 KachelY 17842 2.32954157 1.36820888 133.472900 78.392594
    Unten links KachelX 114131 KachelY + 1 17843 2.32949364 1.36819924 133.470154 78.392042
    Unten rechts KachelX + 1 114132 KachelY + 1 17843 2.32954157 1.36819924 133.472900 78.392042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36820888-1.36819924) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36820888-1.36819924) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32949364-2.32954157) × cos(1.36820888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20120453305774 × 6371000     		do = 61.4402246597512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32949364-2.32954157) × cos(1.36819924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201213975903174 × 6371000     		du = 61.443108146202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36820888)-sin(1.36819924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20120453305774-0.201213975903174)×R²
    abs(2.32954157-2.32949364)×9.44284543424878e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.44284543424878e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.44284543424878e-06×40589641000000     		ar = 3773.52841811414m²