Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114130 / 17810
↖ ↑ ↗
← N 78.410265°
E133.467407°		 ← 61.36 m → N 78.410265°
E133.470154°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.409713°
E133.467407°		 ← 61.36 m →
3 765 m²		 N 78.409713°
E133.470154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870746612548828 y=0.135883331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870746612548828 × 217)
    floor (0.870746612548828 × 131072)
    floor (114130.5)     		tx = 114130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135883331298828 × 217)
    floor (0.135883331298828 × 131072)
    floor (17810.5)     		ty = 17810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114130 / 17810 ti = "17/114130/17810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114130/17810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114130 ÷ 217
    114130 ÷ 131072     		x = 0.870742797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17810 ÷ 217
    17810 ÷ 131072     		y = 0.135879516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870742797851562 × 2 - 1) × π
    0.741485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32944570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135879516601562 × 2 - 1) × π
    0.728240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2878364712668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32944570} λ = 2.32944570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2878364712668))-π/2
    2×atan(9.8535960646864)-π/2
    2×1.46965681062006-π/2
    2.93931362124012-1.57079632675     		φ = 1.36851729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32944570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.467407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36851729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.410265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114130 KachelY 17810 2.32944570 1.36851729 133.467407 78.410265
    Oben rechts KachelX + 1 114131 KachelY 17810 2.32949364 1.36851729 133.470154 78.410265
    Unten links KachelX 114130 KachelY + 1 17811 2.32944570 1.36850766 133.467407 78.409713
    Unten rechts KachelX + 1 114131 KachelY + 1 17811 2.32949364 1.36850766 133.470154 78.409713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36851729-1.36850766) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dl = 61.3527300005972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36851729-1.36850766) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dr = 61.3527300005972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32944570-2.32949364) × cos(1.36851729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200902420708953 × 6371000     		do = 61.3607705127831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32944570-2.32949364) × cos(1.36850766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200911854356055 × 6371000     		du = 61.36365179143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36851729)-sin(1.36850766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200902420708953-0.200911854356055)×R²
    abs(2.32949364-2.32944570)×9.43364710165318e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43364710165318e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43364710165318e-06×40589641000000     		ar = 3764.73917294239m²