Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114125 / 19663
↖ ↑ ↗
← N 77.342045°
E133.453675°		 ← 66.91 m → N 77.342045°
E133.456421°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.341443°
E133.453675°		 ← 66.92 m →
4 476 m²		 N 77.341443°
E133.456421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870708465576172 y=0.150020599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870708465576172 × 217)
    floor (0.870708465576172 × 131072)
    floor (114125.5)     		tx = 114125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150020599365234 × 217)
    floor (0.150020599365234 × 131072)
    floor (19663.5)     		ty = 19663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114125 / 19663 ti = "17/114125/19663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114125/19663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114125 ÷ 217
    114125 ÷ 131072     		x = 0.870704650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19663 ÷ 217
    19663 ÷ 131072     		y = 0.150016784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870704650878906 × 2 - 1) × π
    0.741409301757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.32920602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150016784667969 × 2 - 1) × π
    0.699966430664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19900939627084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32920602} λ = 2.32920602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19900939627084))-π/2
    2×atan(9.01607771404771)-π/2
    2×1.46033482992159-π/2
    2.92066965984318-1.57079632675     		φ = 1.34987333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32920602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.453675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34987333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.342045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114125 KachelY 19663 2.32920602 1.34987333 133.453675 77.342045
    Oben rechts KachelX + 1 114126 KachelY 19663 2.32925395 1.34987333 133.456421 77.342045
    Unten links KachelX 114125 KachelY + 1 19664 2.32920602 1.34986283 133.453675 77.341443
    Unten rechts KachelX + 1 114126 KachelY + 1 19664 2.32925395 1.34986283 133.456421 77.341443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34987333-1.34986283) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dl = 66.8955000008626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34987333-1.34986283) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dr = 66.8955000008626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32920602-2.32925395) × cos(1.34987333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219130280213434 × 6371000     		do = 66.914067200484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32920602-2.32925395) × cos(1.34986283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219140525005243 × 6371000     		du = 66.9171955709077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34987333)-sin(1.34986283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219130280213434-0.219140525005243)×R²
    abs(2.32925395-2.32920602)×1.02447918088333e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02447918088333e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02447918088333e-05×40589641000000     		ar = 4476.3546193106m²