Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114125 / 17834
↖ ↑ ↗
← N 78.397015°
E133.453675°		 ← 61.42 m → N 78.397015°
E133.456421°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.396462°
E133.453675°		 ← 61.42 m →
3 772 m²		 N 78.396462°
E133.456421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870708465576172 y=0.136066436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870708465576172 × 217)
    floor (0.870708465576172 × 131072)
    floor (114125.5)     		tx = 114125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136066436767578 × 217)
    floor (0.136066436767578 × 131072)
    floor (17834.5)     		ty = 17834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114125 / 17834 ti = "17/114125/17834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114125/17834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114125 ÷ 217
    114125 ÷ 131072     		x = 0.870704650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17834 ÷ 217
    17834 ÷ 131072     		y = 0.136062622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870704650878906 × 2 - 1) × π
    0.741409301757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.32920602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136062622070312 × 2 - 1) × π
    0.727874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28668598567592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32920602} λ = 2.32920602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28668598567592))-π/2
    2×atan(9.84226616308958)-π/2
    2×1.46954117780499-π/2
    2.93908235560998-1.57079632675     		φ = 1.36828603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32920602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.453675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36828603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.397015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114125 KachelY 17834 2.32920602 1.36828603 133.453675 78.397015
    Oben rechts KachelX + 1 114126 KachelY 17834 2.32925395 1.36828603 133.456421 78.397015
    Unten links KachelX 114125 KachelY + 1 17835 2.32920602 1.36827639 133.453675 78.396462
    Unten rechts KachelX + 1 114126 KachelY + 1 17835 2.32925395 1.36827639 133.456421 78.396462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36828603-1.36827639) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36828603-1.36827639) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32920602-2.32925395) × cos(1.36828603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201128960234274 × 6371000     		do = 61.4171475889648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32920602-2.32925395) × cos(1.36827639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201138403229325 × 6371000     		du = 61.4200311211028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36828603)-sin(1.36827639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201128960234274-0.201138403229325)×R²
    abs(2.32925395-2.32920602)×9.44299505070689e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.44299505070689e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.44299505070689e-06×40589641000000     		ar = 3772.11110808831m²