Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114122 / 17898
↖ ↑ ↗
← N 78.361606°
E133.445434°		 ← 61.61 m → N 78.361606°
E133.448181°		 →
↑
61.61 m
↓
↑
61.61 m
↓
N 78.361052°
E133.445434°		 ← 61.62 m →
3 796 m²		 N 78.361052°
E133.448181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870685577392578 y=0.136554718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870685577392578 × 217)
    floor (0.870685577392578 × 131072)
    floor (114122.5)     		tx = 114122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136554718017578 × 217)
    floor (0.136554718017578 × 131072)
    floor (17898.5)     		ty = 17898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114122 / 17898 ti = "17/114122/17898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114122/17898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114122 ÷ 217
    114122 ÷ 131072     		x = 0.870681762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17898 ÷ 217
    17898 ÷ 131072     		y = 0.136550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870681762695312 × 2 - 1) × π
    0.741363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32906220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136550903320312 × 2 - 1) × π
    0.726898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28361802410023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32906220} λ = 2.32906220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28361802410023))-π/2
    2×atan(9.81211674096604)-π/2
    2×1.46923218579275-π/2
    2.93846437158551-1.57079632675     		φ = 1.36766804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32906220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.445434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36766804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.361606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114122 KachelY 17898 2.32906220 1.36766804 133.445434 78.361606
    Oben rechts KachelX + 1 114123 KachelY 17898 2.32911014 1.36766804 133.448181 78.361606
    Unten links KachelX 114122 KachelY + 1 17899 2.32906220 1.36765837 133.445434 78.361052
    Unten rechts KachelX + 1 114123 KachelY + 1 17899 2.32911014 1.36765837 133.448181 78.361052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36766804-1.36765837) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dl = 61.607570000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36766804-1.36765837) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dr = 61.607570000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32906220-2.32911014) × cos(1.36766804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201734283022071 × 6371000     		do = 61.614842675345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32906220-2.32911014) × cos(1.36765837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20174375420023 × 6371000     		du = 61.6177354169429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36766804)-sin(1.36765837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201734283022071-0.20174375420023)×R²
    abs(2.32911014-2.32906220)×9.47117815930376e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.47117815930376e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.47117815930376e-06×40589641000000     		ar = 3796.02984048643m²