Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114121 / 17846
↖ ↑ ↗
← N 78.390384°
E133.442688°		 ← 61.45 m → N 78.390384°
E133.445434°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.389831°
E133.442688°		 ← 61.45 m →
3 778 m²		 N 78.389831°
E133.445434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870677947998047 y=0.136157989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870677947998047 × 217)
    floor (0.870677947998047 × 131072)
    floor (114121.5)     		tx = 114121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136157989501953 × 217)
    floor (0.136157989501953 × 131072)
    floor (17846.5)     		ty = 17846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114121 / 17846 ti = "17/114121/17846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114121/17846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114121 ÷ 217
    114121 ÷ 131072     		x = 0.870674133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17846 ÷ 217
    17846 ÷ 131072     		y = 0.136154174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870674133300781 × 2 - 1) × π
    0.741348266601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.32901427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136154174804688 × 2 - 1) × π
    0.727691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28611074288048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32901427} λ = 2.32901427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28611074288048))-π/2
    2×atan(9.83660609850022)-π/2
    2×1.46948331251047-π/2
    2.93896662502093-1.57079632675     		φ = 1.36817030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32901427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.442688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36817030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.390384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114121 KachelY 17846 2.32901427 1.36817030 133.442688 78.390384
    Oben rechts KachelX + 1 114122 KachelY 17846 2.32906220 1.36817030 133.445434 78.390384
    Unten links KachelX 114121 KachelY + 1 17847 2.32901427 1.36816065 133.442688 78.389831
    Unten rechts KachelX + 1 114122 KachelY + 1 17847 2.32906220 1.36816065 133.445434 78.389831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36817030-1.36816065) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dl = 61.4801499998228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36817030-1.36816065) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dr = 61.4801499998228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32901427-2.32906220) × cos(1.36817030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201242323918111 × 6371000     		do = 61.4517645535895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32901427-2.32906220) × cos(1.36816065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201251776484101 × 6371000     		du = 61.4546510083291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36817030)-sin(1.36816065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201242323918111-0.201251776484101)×R²
    abs(2.32906220-2.32901427)×9.45256599063637e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.45256599063637e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.45256599063637e-06×40589641000000     		ar = 3778.15243242027m²