Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114119 / 17833
↖ ↑ ↗
← N 78.397567°
E133.437195°		 ← 61.43 m → N 78.397567°
E133.439941°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.397015°
E133.437195°		 ← 61.43 m →
3 773 m²		 N 78.397015°
E133.439941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870662689208984 y=0.136058807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870662689208984 × 217)
    floor (0.870662689208984 × 131072)
    floor (114119.5)     		tx = 114119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136058807373047 × 217)
    floor (0.136058807373047 × 131072)
    floor (17833.5)     		ty = 17833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114119 / 17833 ti = "17/114119/17833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114119/17833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114119 ÷ 217
    114119 ÷ 131072     		x = 0.870658874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17833 ÷ 217
    17833 ÷ 131072     		y = 0.136054992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870658874511719 × 2 - 1) × π
    0.741317749023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.32891839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136054992675781 × 2 - 1) × π
    0.727890014648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.28673392257554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32891839} λ = 2.32891839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28673392257554))-π/2
    2×atan(9.84273798212336)-π/2
    2×1.46954599844122-π/2
    2.93909199688245-1.57079632675     		φ = 1.36829567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32891839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.437195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36829567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.397567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114119 KachelY 17833 2.32891839 1.36829567 133.437195 78.397567
    Oben rechts KachelX + 1 114120 KachelY 17833 2.32896633 1.36829567 133.439941 78.397567
    Unten links KachelX 114119 KachelY + 1 17834 2.32891839 1.36828603 133.437195 78.397015
    Unten rechts KachelX + 1 114120 KachelY + 1 17834 2.32896633 1.36828603 133.439941 78.397015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36829567-1.36828603) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36829567-1.36828603) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32891839-2.32896633) × cos(1.36829567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201119517220533 × 6371000     		do = 61.4270773754836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32891839-2.32896633) × cos(1.36828603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201128960234274 × 6371000     		du = 61.4299615149435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36829567)-sin(1.36828603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201119517220533-0.201128960234274)×R²
    abs(2.32896633-2.32891839)×9.44301374153356e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.44301374153356e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.44301374153356e-06×40589641000000     		ar = 3772.72097874937m²