Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114108 / 17900
↖ ↑ ↗
← N 78.360498°
E133.406983°		 ← 61.62 m → N 78.360498°
E133.409729°		 →
↑
61.61 m
↓
↑
61.61 m
↓
N 78.359944°
E133.406983°		 ← 61.62 m →
3 796 m²		 N 78.359944°
E133.409729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870578765869141 y=0.136569976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870578765869141 × 217)
    floor (0.870578765869141 × 131072)
    floor (114108.5)     		tx = 114108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136569976806641 × 217)
    floor (0.136569976806641 × 131072)
    floor (17900.5)     		ty = 17900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114108 / 17900 ti = "17/114108/17900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114108/17900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114108 ÷ 217
    114108 ÷ 131072     		x = 0.870574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17900 ÷ 217
    17900 ÷ 131072     		y = 0.136566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870574951171875 × 2 - 1) × π
    0.74114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32839109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136566162109375 × 2 - 1) × π
    0.72686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28352215030099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32839109} λ = 2.32839109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28352215030099))-π/2
    2×atan(9.81117606114949)-π/2
    2×1.46922251482285-π/2
    2.93844502964569-1.57079632675     		φ = 1.36764870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32839109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.406983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36764870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.360498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114108 KachelY 17900 2.32839109 1.36764870 133.406983 78.360498
    Oben rechts KachelX + 1 114109 KachelY 17900 2.32843903 1.36764870 133.409729 78.360498
    Unten links KachelX 114108 KachelY + 1 17901 2.32839109 1.36763903 133.406983 78.359944
    Unten rechts KachelX + 1 114109 KachelY + 1 17901 2.32843903 1.36763903 133.409729 78.359944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36764870-1.36763903) × R
    9.66999999985063e-06 × 6371000     		dl = 61.6075699990484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36764870-1.36763903) × R
    9.66999999985063e-06 × 6371000     		dr = 61.6075699990484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32839109-2.32843903) × cos(1.36764870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201753225359524 × 6371000     		do = 61.6206281527791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32839109-2.32843903) × cos(1.36763903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201762696499953 × 6371000     		du = 61.6235208828531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36764870)-sin(1.36763903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201753225359524-0.201762696499953)×R²
    abs(2.32843903-2.32839109)×9.4711404285408e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.4711404285408e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.4711404285408e-06×40589641000000     		ar = 3796.38626940438m²