Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114105 / 17943
↖ ↑ ↗
← N 78.336647°
E133.398743°		 ← 61.73 m → N 78.336647°
E133.401489°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.336092°
E133.398743°		 ← 61.74 m →
3 811 m²		 N 78.336092°
E133.401489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870555877685547 y=0.136898040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870555877685547 × 217)
    floor (0.870555877685547 × 131072)
    floor (114105.5)     		tx = 114105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136898040771484 × 217)
    floor (0.136898040771484 × 131072)
    floor (17943.5)     		ty = 17943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114105 / 17943 ti = "17/114105/17943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114105/17943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114105 ÷ 217
    114105 ÷ 131072     		x = 0.870552062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17943 ÷ 217
    17943 ÷ 131072     		y = 0.136894226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870552062988281 × 2 - 1) × π
    0.741104125976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.32824728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136894226074219 × 2 - 1) × π
    0.726211547851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.28146086361733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32824728} λ = 2.32824728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28146086361733))-π/2
    2×atan(9.79097324363625)-π/2
    2×1.46901436917147-π/2
    2.93802873834295-1.57079632675     		φ = 1.36723241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32824728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.398743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36723241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.336647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114105 KachelY 17943 2.32824728 1.36723241 133.398743 78.336647
    Oben rechts KachelX + 1 114106 KachelY 17943 2.32829521 1.36723241 133.401489 78.336647
    Unten links KachelX 114105 KachelY + 1 17944 2.32824728 1.36722272 133.398743 78.336092
    Unten rechts KachelX + 1 114106 KachelY + 1 17944 2.32829521 1.36722272 133.401489 78.336092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36723241-1.36722272) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dl = 61.7349899996886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36723241-1.36722272) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dr = 61.7349899996886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32824728-2.32829521) × cos(1.36723241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202160937439615 × 6371000     		do = 61.7322742433018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32824728-2.32829521) × cos(1.36722272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202170427354049 × 6371000     		du = 61.7351721028377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36723241)-sin(1.36722272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202160937439615-0.202170427354049)×R²
    abs(2.32829521-2.32824728)×9.48991443355807e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.48991443355807e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.48991443355807e-06×40589641000000     		ar = 3811.13078270781m²