Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1141 / 818
↖ ↑ ↗
← N 80.746492°
W129.858398°		 ← 785.76 m → N 80.746492°
W129.814453°		 →
↑
786.05 m
↓
↑
786.05 m
↓
N 80.739423°
W129.858398°		 ← 786.36 m →
617 886 m²		 N 80.739423°
W129.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13934326171875 y=0.09991455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13934326171875 × 213)
    floor (0.13934326171875 × 8192)
    floor (1141.5)     		tx = 1141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09991455078125 × 213)
    floor (0.09991455078125 × 8192)
    floor (818.5)     		ty = 818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1141 / 818 ti = "13/1141/818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1141/818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1141 ÷ 213
    1141 ÷ 8192     		x = 0.1392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 818 ÷ 213
    818 ÷ 8192     		y = 0.099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26645661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099853515625 × 2 - 1) × π
    0.80029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51419451127271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26645661} λ = -2.26645661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51419451127271))-π/2
    2×atan(12.3566516258715)-π/2
    2×1.49004423865308-π/2
    2.98008847730617-1.57079632675     		φ = 1.40929215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26645661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.858398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40929215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.746492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1141 KachelY 818 -2.26645661 1.40929215 -129.858398 80.746492
    Oben rechts KachelX + 1 1142 KachelY 818 -2.26568962 1.40929215 -129.814453 80.746492
    Unten links KachelX 1141 KachelY + 1 819 -2.26645661 1.40916877 -129.858398 80.739423
    Unten rechts KachelX + 1 1142 KachelY + 1 819 -2.26568962 1.40916877 -129.814453 80.739423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40929215-1.40916877) × R
    0.000123380000000006 × 6371000     		dl = 786.05398000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40929215-1.40916877) × R
    0.000123380000000006 × 6371000     		dr = 786.05398000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26645661--2.26568962) × cos(1.40929215) × R
    0.000766990000000245 × 0.160802990192724 × 6371000     		do = 785.762732588933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26645661--2.26568962) × cos(1.40916877) × R
    0.000766990000000245 × 0.160924763365811 × 6371000     		du = 786.357776382125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40929215)-sin(1.40916877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160802990192724-0.160924763365811)×R²
    abs(-2.26568962--2.26645661)×0.00012177317308712×R²
    0.000766990000000245×0.00012177317308712×6371000²
    0.000766990000000245×0.00012177317308712×40589641000000     		ar = 617885.792340557m²