Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114099 / 17875
↖ ↑ ↗
← N 78.374344°
E133.382263°		 ← 61.54 m → N 78.374344°
E133.385010°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.373790°
E133.382263°		 ← 61.54 m →
3 787 m²		 N 78.373790°
E133.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870510101318359 y=0.136379241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870510101318359 × 217)
    floor (0.870510101318359 × 131072)
    floor (114099.5)     		tx = 114099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136379241943359 × 217)
    floor (0.136379241943359 × 131072)
    floor (17875.5)     		ty = 17875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114099 / 17875 ti = "17/114099/17875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114099/17875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114099 ÷ 217
    114099 ÷ 131072     		x = 0.870506286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17875 ÷ 217
    17875 ÷ 131072     		y = 0.136375427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870506286621094 × 2 - 1) × π
    0.741012573242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.32795966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136375427246094 × 2 - 1) × π
    0.727249145507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.2847205727915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32795966} λ = 2.32795966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2847205727915))-π/2
    2×atan(9.82294104350108)-π/2
    2×1.46934333669846-π/2
    2.93868667339692-1.57079632675     		φ = 1.36789035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32795966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.382263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36789035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.374344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114099 KachelY 17875 2.32795966 1.36789035 133.382263 78.374344
    Oben rechts KachelX + 1 114100 KachelY 17875 2.32800759 1.36789035 133.385010 78.374344
    Unten links KachelX 114099 KachelY + 1 17876 2.32795966 1.36788069 133.382263 78.373790
    Unten rechts KachelX + 1 114100 KachelY + 1 17876 2.32800759 1.36788069 133.385010 78.373790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36789035-1.36788069) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dl = 61.5438599994356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36789035-1.36788069) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dr = 61.5438599994356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32795966-2.32800759) × cos(1.36789035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201516538668263 × 6371000     		do = 61.5354993263519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32795966-2.32800759) × cos(1.36788069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201526000485042 × 6371000     		du = 61.5383886059311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36789035)-sin(1.36788069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201516538668263-0.201526000485042)×R²
    abs(2.32800759-2.32795966)×9.46181677943803e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.46181677943803e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.46181677943803e-06×40589641000000     		ar = 3787.22106416268m²