Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114097 / 17873
↖ ↑ ↗
← N 78.375451°
E133.376770°		 ← 61.54 m → N 78.375451°
E133.379517°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.374897°
E133.376770°		 ← 61.55 m →
3 788 m²		 N 78.374897°
E133.379517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870494842529297 y=0.136363983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870494842529297 × 217)
    floor (0.870494842529297 × 131072)
    floor (114097.5)     		tx = 114097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136363983154297 × 217)
    floor (0.136363983154297 × 131072)
    floor (17873.5)     		ty = 17873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114097 / 17873 ti = "17/114097/17873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114097/17873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114097 ÷ 217
    114097 ÷ 131072     		x = 0.870491027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17873 ÷ 217
    17873 ÷ 131072     		y = 0.136360168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870491027832031 × 2 - 1) × π
    0.740982055664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.32786378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136360168457031 × 2 - 1) × π
    0.727279663085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28481644659074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32786378} λ = 2.32786378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28481644659074))-π/2
    2×atan(9.82388285132526)-π/2
    2×1.46935299632314-π/2
    2.93870599264629-1.57079632675     		φ = 1.36790967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32786378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.376770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36790967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.375451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114097 KachelY 17873 2.32786378 1.36790967 133.376770 78.375451
    Oben rechts KachelX + 1 114098 KachelY 17873 2.32791172 1.36790967 133.379517 78.375451
    Unten links KachelX 114097 KachelY + 1 17874 2.32786378 1.36790001 133.376770 78.374897
    Unten rechts KachelX + 1 114098 KachelY + 1 17874 2.32791172 1.36790001 133.379517 78.374897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36790967-1.36790001) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dl = 61.5438599994356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36790967-1.36790001) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dr = 61.5438599994356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32786378-2.32791172) × cos(1.36790967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201497614978291 × 6371000     		do = 61.5425581629392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32786378-2.32791172) × cos(1.36790001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201507076832678 × 6371000     		du = 61.5454480568173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36790967)-sin(1.36790001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201497614978291-0.201507076832678)×R²
    abs(2.32791172-2.32786378)×9.46185438782665e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.46185438782665e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.46185438782665e-06×40589641000000     		ar = 3787.6555111196m²