Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114096 / 17872
↖ ↑ ↗
← N 78.376004°
E133.374024°		 ← 61.53 m → N 78.376004°
E133.376770°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.375451°
E133.374024°		 ← 61.53 m →
3 783 m²		 N 78.375451°
E133.376770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870487213134766 y=0.136356353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870487213134766 × 217)
    floor (0.870487213134766 × 131072)
    floor (114096.5)     		tx = 114096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136356353759766 × 217)
    floor (0.136356353759766 × 131072)
    floor (17872.5)     		ty = 17872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114096 / 17872 ti = "17/114096/17872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114096/17872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114096 ÷ 217
    114096 ÷ 131072     		x = 0.8704833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17872 ÷ 217
    17872 ÷ 131072     		y = 0.1363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8704833984375 × 2 - 1) × π
    0.740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32781585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1363525390625 × 2 - 1) × π
    0.727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28486438349036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32781585} λ = 2.32781585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28486438349036))-π/2
    2×atan(9.82435378909894)-π/2
    2×1.46935782579533-π/2
    2.93871565159066-1.57079632675     		φ = 1.36791932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32781585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36791932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.376004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114096 KachelY 17872 2.32781585 1.36791932 133.374024 78.376004
    Oben rechts KachelX + 1 114097 KachelY 17872 2.32786378 1.36791932 133.376770 78.376004
    Unten links KachelX 114096 KachelY + 1 17873 2.32781585 1.36790967 133.374024 78.375451
    Unten rechts KachelX + 1 114097 KachelY + 1 17873 2.32786378 1.36790967 133.376770 78.375451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36791932-1.36790967) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dl = 61.4801499998228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36791932-1.36790967) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dr = 61.4801499998228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32781585-2.32786378) × cos(1.36791932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201488162900009 × 6371000     		do = 61.5268344441552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32781585-2.32786378) × cos(1.36790967) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201497614978291 × 6371000     		du = 61.5297207499669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36791932)-sin(1.36790967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201488162900009-0.201497614978291)×R²
    abs(2.32786378-2.32781585)×9.45207828123573e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.45207828123573e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.45207828123573e-06×40589641000000     		ar = 3782.76773608125m²