Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114091 / 17850
↖ ↑ ↗
← N 78.388173°
E133.360290°		 ← 61.48 m → N 78.388173°
E133.363037°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.387620°
E133.360290°		 ← 61.48 m →
3 780 m²		 N 78.387620°
E133.363037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870449066162109 y=0.136188507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870449066162109 × 217)
    floor (0.870449066162109 × 131072)
    floor (114091.5)     		tx = 114091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136188507080078 × 217)
    floor (0.136188507080078 × 131072)
    floor (17850.5)     		ty = 17850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114091 / 17850 ti = "17/114091/17850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114091/17850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114091 ÷ 217
    114091 ÷ 131072     		x = 0.870445251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17850 ÷ 217
    17850 ÷ 131072     		y = 0.136184692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870445251464844 × 2 - 1) × π
    0.740890502929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.32757616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136184692382812 × 2 - 1) × π
    0.727630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.285918995282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32757616} λ = 2.32757616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.285918995282))-π/2
    2×atan(9.83472013372403)-π/2
    2×1.4694640168321-π/2
    2.93892803366419-1.57079632675     		φ = 1.36813171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32757616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.360290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36813171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.388173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114091 KachelY 17850 2.32757616 1.36813171 133.360290 78.388173
    Oben rechts KachelX + 1 114092 KachelY 17850 2.32762410 1.36813171 133.363037 78.388173
    Unten links KachelX 114091 KachelY + 1 17851 2.32757616 1.36812206 133.360290 78.387620
    Unten rechts KachelX + 1 114092 KachelY + 1 17851 2.32762410 1.36812206 133.363037 78.387620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36813171-1.36812206) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dl = 61.4801499998228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36813171-1.36812206) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dr = 61.4801499998228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32757616-2.32762410) × cos(1.36813171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201280124274286 × 6371000     		do = 61.4761309037256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32757616-2.32762410) × cos(1.36812206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201289576765327 × 6371000     		du = 61.4790179377965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36813171)-sin(1.36812206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201280124274286-0.201289576765327)×R²
    abs(2.32762410-2.32757616)×9.45249104053469e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.45249104053469e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.45249104053469e-06×40589641000000     		ar = 3779.65049692321m²