Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11409 / 23703
↖ ↑ ↗
← S 62.385278°
W 54.656982°		 ← 566.26 m → S 62.385278°
W 54.645996°		 →
↑
566.19 m
↓
↑
566.19 m
↓
S 62.390370°
W 54.656982°		 ← 566.16 m →
320 583 m²		 S 62.390370°
W 54.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348190307617188 y=0.723373413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348190307617188 × 215)
    floor (0.348190307617188 × 32768)
    floor (11409.5)     		tx = 11409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723373413085938 × 215)
    floor (0.723373413085938 × 32768)
    floor (23703.5)     		ty = 23703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11409 / 23703 ti = "15/11409/23703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11409/23703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11409 ÷ 215
    11409 ÷ 32768     		x = 0.348175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23703 ÷ 215
    23703 ÷ 32768     		y = 0.723358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.30364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95394430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.44671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40340067327676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95394430} λ = -0.95394430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40340067327676))-π/2
    2×atan(0.245759792516241)-π/2
    2×0.240983915297637-π/2
    0.481967830595273-1.57079632675     		φ = -1.08882850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95394430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.656982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08882850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.385278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11409 KachelY 23703 -0.95394430 -1.08882850 -54.656982 -62.385278
    Oben rechts KachelX + 1 11410 KachelY 23703 -0.95375255 -1.08882850 -54.645996 -62.385278
    Unten links KachelX 11409 KachelY + 1 23704 -0.95394430 -1.08891737 -54.656982 -62.390370
    Unten rechts KachelX + 1 11410 KachelY + 1 23704 -0.95375255 -1.08891737 -54.645996 -62.390370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08882850--1.08891737) × R
    8.88700000001297e-05 × 6371000     		dl = 566.190770000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08882850--1.08891737) × R
    8.88700000001297e-05 × 6371000     		dr = 566.190770000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95394430--0.95375255) × cos(-1.08882850) × R
    0.000191749999999935 × 0.46352373270774 × 6371000     		do = 566.258785182092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95394430--0.95375255) × cos(-1.08891737) × R
    0.000191749999999935 × 0.463444984547496 × 6371000     		du = 566.162583338673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08882850)-sin(-1.08891737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46352373270774-0.463444984547496)×R²
    abs(-0.95375255--0.95394430)×7.87481602431694e-05×R²
    0.000191749999999935×7.87481602431694e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.87481602431694e-05×40589641000000     		ar = 320583.26351474m²