Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114086 / 17890
↖ ↑ ↗
← N 78.366038°
E133.346558°		 ← 61.58 m → N 78.366038°
E133.349304°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.365485°
E133.346558°		 ← 61.58 m →
3 790 m²		 N 78.365485°
E133.349304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870410919189453 y=0.136493682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870410919189453 × 217)
    floor (0.870410919189453 × 131072)
    floor (114086.5)     		tx = 114086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136493682861328 × 217)
    floor (0.136493682861328 × 131072)
    floor (17890.5)     		ty = 17890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114086 / 17890 ti = "17/114086/17890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114086/17890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114086 ÷ 217
    114086 ÷ 131072     		x = 0.870407104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17890 ÷ 217
    17890 ÷ 131072     		y = 0.136489868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870407104492188 × 2 - 1) × π
    0.740814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32733648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136489868164062 × 2 - 1) × π
    0.727020263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2840015192972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32733648} λ = 2.32733648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2840015192972))-π/2
    2×atan(9.81588036222743)-π/2
    2×1.46927086059233-π/2
    2.93854172118465-1.57079632675     		φ = 1.36774539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32733648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.346558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36774539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.366038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114086 KachelY 17890 2.32733648 1.36774539 133.346558 78.366038
    Oben rechts KachelX + 1 114087 KachelY 17890 2.32738441 1.36774539 133.349304 78.366038
    Unten links KachelX 114086 KachelY + 1 17891 2.32733648 1.36773573 133.346558 78.365485
    Unten rechts KachelX + 1 114087 KachelY + 1 17891 2.32738441 1.36773573 133.349304 78.365485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36774539-1.36773573) × R
    9.66000000013345e-06 × 6371000     		dl = 61.5438600008502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36774539-1.36773573) × R
    9.66000000013345e-06 × 6371000     		dr = 61.5438600008502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32733648-2.32738441) × cos(1.36774539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201658522712328 × 6371000     		do = 61.5788558622752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32733648-2.32738441) × cos(1.36773573) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201667984246815 × 6371000     		du = 61.5817450556532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36774539)-sin(1.36773573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201658522712328-0.201667984246815)×R²
    abs(2.32738441-2.32733648)×9.4615344872484e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.4615344872484e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.4615344872484e-06×40589641000000     		ar = 3789.88939035444m²