Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114083 / 17889
↖ ↑ ↗
← N 78.366592°
E133.338318°		 ← 61.58 m → N 78.366592°
E133.341064°		 →
↑
61.61 m
↓
↑
61.61 m
↓
N 78.366038°
E133.338318°		 ← 61.58 m →
3 794 m²		 N 78.366038°
E133.341064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870388031005859 y=0.136486053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870388031005859 × 217)
    floor (0.870388031005859 × 131072)
    floor (114083.5)     		tx = 114083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136486053466797 × 217)
    floor (0.136486053466797 × 131072)
    floor (17889.5)     		ty = 17889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114083 / 17889 ti = "17/114083/17889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114083/17889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114083 ÷ 217
    114083 ÷ 131072     		x = 0.870384216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17889 ÷ 217
    17889 ÷ 131072     		y = 0.136482238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870384216308594 × 2 - 1) × π
    0.740768432617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.32719267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136482238769531 × 2 - 1) × π
    0.727035522460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28404945619682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32719267} λ = 2.32719267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28404945619682))-π/2
    2×atan(9.8163509163774)-π/2
    2×1.46927569392094-π/2
    2.93855138784187-1.57079632675     		φ = 1.36775506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32719267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.338318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36775506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.366592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114083 KachelY 17889 2.32719267 1.36775506 133.338318 78.366592
    Oben rechts KachelX + 1 114084 KachelY 17889 2.32724060 1.36775506 133.341064 78.366592
    Unten links KachelX 114083 KachelY + 1 17890 2.32719267 1.36774539 133.338318 78.366038
    Unten rechts KachelX + 1 114084 KachelY + 1 17890 2.32724060 1.36774539 133.341064 78.366038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36775506-1.36774539) × R
    9.66999999985063e-06 × 6371000     		dl = 61.6075699990484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36775506-1.36774539) × R
    9.66999999985063e-06 × 6371000     		dr = 61.6075699990484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32719267-2.32724060) × cos(1.36775506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201649051364445 × 6371000     		do = 61.5759636722588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32719267-2.32724060) × cos(1.36774539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201658522712328 × 6371000     		du = 61.5788558622752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36775506)-sin(1.36774539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201649051364445-0.201658522712328)×R²
    abs(2.32724060-2.32719267)×9.47134788326087e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.47134788326087e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.47134788326087e-06×40589641000000     		ar = 3793.634582662m²