Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114079 / 17883
↖ ↑ ↗
← N 78.369915°
E133.327332°		 ← 61.57 m → N 78.369915°
E133.330078°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.369361°
E133.327332°		 ← 61.57 m →
3 789 m²		 N 78.369361°
E133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870357513427734 y=0.136440277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870357513427734 × 217)
    floor (0.870357513427734 × 131072)
    floor (114079.5)     		tx = 114079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136440277099609 × 217)
    floor (0.136440277099609 × 131072)
    floor (17883.5)     		ty = 17883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114079 / 17883 ti = "17/114079/17883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114079/17883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114079 ÷ 217
    114079 ÷ 131072     		x = 0.870353698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17883 ÷ 217
    17883 ÷ 131072     		y = 0.136436462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870353698730469 × 2 - 1) × π
    0.740707397460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.32700092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136436462402344 × 2 - 1) × π
    0.727127075195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.28433707759454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32700092} λ = 2.32700092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28433707759454))-π/2
    2×atan(9.81917471502148)-π/2
    2×1.46930468912742-π/2
    2.93860937825484-1.57079632675     		φ = 1.36781305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32700092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.327332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36781305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.369915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114079 KachelY 17883 2.32700092 1.36781305 133.327332 78.369915
    Oben rechts KachelX + 1 114080 KachelY 17883 2.32704886 1.36781305 133.330078 78.369915
    Unten links KachelX 114079 KachelY + 1 17884 2.32700092 1.36780339 133.327332 78.369361
    Unten rechts KachelX + 1 114080 KachelY + 1 17884 2.32704886 1.36780339 133.330078 78.369361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36781305-1.36780339) × R
    9.66000000013345e-06 × 6371000     		dl = 61.5438600008502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36781305-1.36780339) × R
    9.66000000013345e-06 × 6371000     		dr = 61.5438600008502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32700092-2.32704886) × cos(1.36781305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201592252265285 × 6371000     		do = 61.5714628263511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32700092-2.32704886) × cos(1.36780339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201601713931557 × 6371000     		du = 61.5743526627738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36781305)-sin(1.36780339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201592252265285-0.201601713931557)×R²
    abs(2.32704886-2.32700092)×9.46166627183165e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.46166627183165e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.46166627183165e-06×40589641000000     		ar = 3789.434414109m²