Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114078 / 17882
↖ ↑ ↗
← N 78.370468°
E133.324585°		 ← 61.57 m → N 78.370468°
E133.327332°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.369915°
E133.324585°		 ← 61.57 m →
3 789 m²		 N 78.369915°
E133.327332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870349884033203 y=0.136432647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870349884033203 × 217)
    floor (0.870349884033203 × 131072)
    floor (114078.5)     		tx = 114078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136432647705078 × 217)
    floor (0.136432647705078 × 131072)
    floor (17882.5)     		ty = 17882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114078 / 17882 ti = "17/114078/17882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114078/17882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114078 ÷ 217
    114078 ÷ 131072     		x = 0.870346069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17882 ÷ 217
    17882 ÷ 131072     		y = 0.136428833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870346069335938 × 2 - 1) × π
    0.740692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32695298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136428833007812 × 2 - 1) × π
    0.727142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28438501449416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32695298} λ = 2.32695298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28438501449416))-π/2
    2×atan(9.81964542709629)-π/2
    2×1.46930952086773-π/2
    2.93861904173546-1.57079632675     		φ = 1.36782271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32695298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.324585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36782271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.370468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114078 KachelY 17882 2.32695298 1.36782271 133.324585 78.370468
    Oben rechts KachelX + 1 114079 KachelY 17882 2.32700092 1.36782271 133.327332 78.370468
    Unten links KachelX 114078 KachelY + 1 17883 2.32695298 1.36781305 133.324585 78.369915
    Unten rechts KachelX + 1 114079 KachelY + 1 17883 2.32700092 1.36781305 133.327332 78.369915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36782271-1.36781305) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dl = 61.5438599994356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36782271-1.36781305) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dr = 61.5438599994356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32695298-2.32700092) × cos(1.36782271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201582790580202 × 6371000     		do = 61.5685729841829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32695298-2.32700092) × cos(1.36781305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201592252265285 × 6371000     		du = 61.5714628263511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36782271)-sin(1.36781305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201582790580202-0.201592252265285)×R²
    abs(2.32700092-2.32695298)×9.4616850833118e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.4616850833118e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.4616850833118e-06×40589641000000     		ar = 3789.25656226423m²