Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114076 / 17876
↖ ↑ ↗
← N 78.373790°
E133.319092°		 ← 61.54 m → N 78.373790°
E133.321838°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.373237°
E133.319092°		 ← 61.54 m →
3 787 m²		 N 78.373237°
E133.321838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870334625244141 y=0.136386871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870334625244141 × 217)
    floor (0.870334625244141 × 131072)
    floor (114076.5)     		tx = 114076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136386871337891 × 217)
    floor (0.136386871337891 × 131072)
    floor (17876.5)     		ty = 17876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114076 / 17876 ti = "17/114076/17876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114076/17876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114076 ÷ 217
    114076 ÷ 131072     		x = 0.870330810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17876 ÷ 217
    17876 ÷ 131072     		y = 0.136383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870330810546875 × 2 - 1) × π
    0.74066162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32685711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136383056640625 × 2 - 1) × π
    0.72723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28467263589188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32685711} λ = 2.32685711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28467263589188))-π/2
    2×atan(9.82247017344842)-π/2
    2×1.46933850654594-π/2
    2.93867701309188-1.57079632675     		φ = 1.36788069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32685711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.319092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36788069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.373790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114076 KachelY 17876 2.32685711 1.36788069 133.319092 78.373790
    Oben rechts KachelX + 1 114077 KachelY 17876 2.32690504 1.36788069 133.321838 78.373790
    Unten links KachelX 114076 KachelY + 1 17877 2.32685711 1.36787103 133.319092 78.373237
    Unten rechts KachelX + 1 114077 KachelY + 1 17877 2.32690504 1.36787103 133.321838 78.373237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36788069-1.36787103) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dl = 61.5438599994356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36788069-1.36787103) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dr = 61.5438599994356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32685711-2.32690504) × cos(1.36788069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201526000485042 × 6371000     		do = 61.5383886059311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32685711-2.32690504) × cos(1.36787103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201535462283016 × 6371000     		du = 61.5412778797679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36788069)-sin(1.36787103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201526000485042-0.201535462283016)×R²
    abs(2.32690504-2.32685711)×9.46179797392532e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.46179797392532e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.46179797392532e-06×40589641000000     		ar = 3787.39888150048m²