Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114075 / 17877
↖ ↑ ↗
← N 78.373237°
E133.316345°		 ← 61.55 m → N 78.373237°
E133.319092°		 →
↑
61.61 m
↓
↑
61.61 m
↓
N 78.372683°
E133.316345°		 ← 61.56 m →
3 792 m²		 N 78.372683°
E133.319092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870326995849609 y=0.136394500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870326995849609 × 217)
    floor (0.870326995849609 × 131072)
    floor (114075.5)     		tx = 114075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136394500732422 × 217)
    floor (0.136394500732422 × 131072)
    floor (17877.5)     		ty = 17877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114075 / 17877 ti = "17/114075/17877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114075/17877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114075 ÷ 217
    114075 ÷ 131072     		x = 0.870323181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17877 ÷ 217
    17877 ÷ 131072     		y = 0.136390686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870323181152344 × 2 - 1) × π
    0.740646362304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.32680917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136390686035156 × 2 - 1) × π
    0.727218627929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.28462469899226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32680917} λ = 2.32680917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28462469899226))-π/2
    2×atan(9.82199932596727)-π/2
    2×1.46933367616663-π/2
    2.93866735233325-1.57079632675     		φ = 1.36787103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32680917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.316345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36787103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.373237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114075 KachelY 17877 2.32680917 1.36787103 133.316345 78.373237
    Oben rechts KachelX + 1 114076 KachelY 17877 2.32685711 1.36787103 133.319092 78.373237
    Unten links KachelX 114075 KachelY + 1 17878 2.32680917 1.36786136 133.316345 78.372683
    Unten rechts KachelX + 1 114076 KachelY + 1 17878 2.32685711 1.36786136 133.319092 78.372683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36787103-1.36786136) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dl = 61.607570000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36787103-1.36786136) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dr = 61.607570000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32680917-2.32685711) × cos(1.36787103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201535462283016 × 6371000     		do = 61.5541177039919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32680917-2.32685711) × cos(1.36786136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201544933856976 × 6371000     		du = 61.5570105664777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36787103)-sin(1.36786136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201535462283016-0.201544933856976)×R²
    abs(2.32685711-2.32680917)×9.47157396036236e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.47157396036236e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.47157396036236e-06×40589641000000     		ar = 3792.28872649104m²