Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114071 / 17911
↖ ↑ ↗
← N 78.354402°
E133.305359°		 ← 61.65 m → N 78.354402°
E133.308105°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.353847°
E133.305359°		 ← 61.66 m →
3 802 m²		 N 78.353847°
E133.308105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870296478271484 y=0.136653900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870296478271484 × 217)
    floor (0.870296478271484 × 131072)
    floor (114071.5)     		tx = 114071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136653900146484 × 217)
    floor (0.136653900146484 × 131072)
    floor (17911.5)     		ty = 17911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114071 / 17911 ti = "17/114071/17911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114071/17911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114071 ÷ 217
    114071 ÷ 131072     		x = 0.870292663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17911 ÷ 217
    17911 ÷ 131072     		y = 0.136650085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870292663574219 × 2 - 1) × π
    0.740585327148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.32661742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136650085449219 × 2 - 1) × π
    0.726699829101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.28299484440517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32661742} λ = 2.32661742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28299484440517))-π/2
    2×atan(9.80600393393395)-π/2
    2×1.46916930825265-π/2
    2.93833861650529-1.57079632675     		φ = 1.36754229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32661742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.305359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36754229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.354402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114071 KachelY 17911 2.32661742 1.36754229 133.305359 78.354402
    Oben rechts KachelX + 1 114072 KachelY 17911 2.32666536 1.36754229 133.308105 78.354402
    Unten links KachelX 114071 KachelY + 1 17912 2.32661742 1.36753261 133.305359 78.353847
    Unten rechts KachelX + 1 114072 KachelY + 1 17912 2.32666536 1.36753261 133.308105 78.353847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36754229-1.36753261) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36754229-1.36753261) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32661742-2.32666536) × cos(1.36754229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201857446043027 × 6371000     		do = 61.6524598321611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32661742-2.32666536) × cos(1.36753261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201866926769926 × 6371000     		du = 61.6553554901899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36754229)-sin(1.36753261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201857446043027-0.201866926769926)×R²
    abs(2.32666536-2.32661742)×9.48072689882506e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48072689882506e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48072689882506e-06×40589641000000     		ar = 3802.27540259168m²