Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114065 / 17903
↖ ↑ ↗
← N 78.358836°
E133.288879°		 ← 61.63 m → N 78.358836°
E133.291626°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.358282°
E133.288879°		 ← 61.63 m →
3 801 m²		 N 78.358282°
E133.291626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870250701904297 y=0.136592864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870250701904297 × 217)
    floor (0.870250701904297 × 131072)
    floor (114065.5)     		tx = 114065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136592864990234 × 217)
    floor (0.136592864990234 × 131072)
    floor (17903.5)     		ty = 17903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114065 / 17903 ti = "17/114065/17903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114065/17903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114065 ÷ 217
    114065 ÷ 131072     		x = 0.870246887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17903 ÷ 217
    17903 ÷ 131072     		y = 0.136589050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870246887207031 × 2 - 1) × π
    0.740493774414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.32632980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136589050292969 × 2 - 1) × π
    0.726821899414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.28337833960213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32632980} λ = 2.32632980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28337833960213))-π/2
    2×atan(9.80976521051364)-π/2
    2×1.46920800666514-π/2
    2.93841601333028-1.57079632675     		φ = 1.36761969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32632980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.288879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36761969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.358836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114065 KachelY 17903 2.32632980 1.36761969 133.288879 78.358836
    Oben rechts KachelX + 1 114066 KachelY 17903 2.32637774 1.36761969 133.291626 78.358836
    Unten links KachelX 114065 KachelY + 1 17904 2.32632980 1.36761001 133.288879 78.358282
    Unten rechts KachelX + 1 114066 KachelY + 1 17904 2.32637774 1.36761001 133.291626 78.358282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36761969-1.36761001) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36761969-1.36761001) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32632980-2.32637774) × cos(1.36761969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20178163872421 × 6371000     		do = 61.629306325714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32632980-2.32637774) × cos(1.36761001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201791119602322 × 6371000     		du = 61.6322020299272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36761969)-sin(1.36761001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20178163872421-0.201791119602322)×R²
    abs(2.32637774-2.32632980)×9.48087811203369e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48087811203369e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48087811203369e-06×40589641000000     		ar = 3800.84749740843m²