Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114064 / 17905
↖ ↑ ↗
← N 78.357728°
E133.286133°		 ← 61.64 m → N 78.357728°
E133.288879°		 →
↑
61.61 m
↓
↑
61.61 m
↓
N 78.357173°
E133.286133°		 ← 61.64 m →
3 797 m²		 N 78.357173°
E133.288879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870243072509766 y=0.136608123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870243072509766 × 217)
    floor (0.870243072509766 × 131072)
    floor (114064.5)     		tx = 114064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136608123779297 × 217)
    floor (0.136608123779297 × 131072)
    floor (17905.5)     		ty = 17905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114064 / 17905 ti = "17/114064/17905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114064/17905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114064 ÷ 217
    114064 ÷ 131072     		x = 0.8702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17905 ÷ 217
    17905 ÷ 131072     		y = 0.136604309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8702392578125 × 2 - 1) × π
    0.740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32628186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136604309082031 × 2 - 1) × π
    0.726791381835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28328246580289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32628186} λ = 2.32628186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28328246580289))-π/2
    2×atan(9.80882475613644)-π/2
    2×1.46919833342466-π/2
    2.93839666684932-1.57079632675     		φ = 1.36760034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32628186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36760034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.357728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114064 KachelY 17905 2.32628186 1.36760034 133.286133 78.357728
    Oben rechts KachelX + 1 114065 KachelY 17905 2.32632980 1.36760034 133.288879 78.357728
    Unten links KachelX 114064 KachelY + 1 17906 2.32628186 1.36759067 133.286133 78.357173
    Unten rechts KachelX + 1 114065 KachelY + 1 17906 2.32632980 1.36759067 133.288879 78.357173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36760034-1.36759067) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dl = 61.607570000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36760034-1.36759067) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dr = 61.607570000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32628186-2.32632980) × cos(1.36760034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201800590667259 × 6371000     		do = 61.6350947369443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32628186-2.32632980) × cos(1.36759067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201810061713326 × 6371000     		du = 61.637987438198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36760034)-sin(1.36759067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201800590667259-0.201810061713326)×R²
    abs(2.32632980-2.32628186)×9.47104606732752e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.47104606732752e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.47104606732752e-06×40589641000000     		ar = 3797.27751960381m²