Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114063 / 17901
↖ ↑ ↗
← N 78.359944°
E133.283386°		 ← 61.61 m → N 78.359944°
E133.286133°		 →
↑
61.61 m
↓
↑
61.61 m
↓
N 78.359390°
E133.283386°		 ← 61.61 m →
3 796 m²		 N 78.359390°
E133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870235443115234 y=0.136577606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870235443115234 × 217)
    floor (0.870235443115234 × 131072)
    floor (114063.5)     		tx = 114063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136577606201172 × 217)
    floor (0.136577606201172 × 131072)
    floor (17901.5)     		ty = 17901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114063 / 17901 ti = "17/114063/17901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114063/17901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114063 ÷ 217
    114063 ÷ 131072     		x = 0.870231628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17901 ÷ 217
    17901 ÷ 131072     		y = 0.136573791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870231628417969 × 2 - 1) × π
    0.740463256835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.32623393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136573791503906 × 2 - 1) × π
    0.726852416992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.28347421340137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32623393} λ = 2.32623393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28347421340137))-π/2
    2×atan(9.81070575506009)-π/2
    2×1.46921767899733-π/2
    2.93843535799467-1.57079632675     		φ = 1.36763903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32623393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.283386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36763903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.359944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114063 KachelY 17901 2.32623393 1.36763903 133.283386 78.359944
    Oben rechts KachelX + 1 114064 KachelY 17901 2.32628186 1.36763903 133.286133 78.359944
    Unten links KachelX 114063 KachelY + 1 17902 2.32623393 1.36762936 133.283386 78.359390
    Unten rechts KachelX + 1 114064 KachelY + 1 17902 2.32628186 1.36762936 133.286133 78.359390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36763903-1.36762936) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dl = 61.607570000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36763903-1.36762936) × R
    9.67000000007268e-06 × 6371000     		dr = 61.607570000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32623393-2.32628186) × cos(1.36763903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201762696499953 × 6371000     		do = 61.6106665815373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32623393-2.32628186) × cos(1.36762936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201772167621515 × 6371000     		du = 61.6135587024439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36763903)-sin(1.36762936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201762696499953-0.201772167621515)×R²
    abs(2.32628186-2.32623393)×9.47112156213237e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.47112156213237e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.47112156213237e-06×40589641000000     		ar = 3795.77254246798m²