Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114057 / 17800
↖ ↑ ↗
← N 78.415782°
E133.266907°		 ← 61.32 m → N 78.415782°
E133.269653°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.415230°
E133.266907°		 ← 61.32 m →
3 762 m²		 N 78.415230°
E133.269653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870189666748047 y=0.135807037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870189666748047 × 217)
    floor (0.870189666748047 × 131072)
    floor (114057.5)     		tx = 114057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135807037353516 × 217)
    floor (0.135807037353516 × 131072)
    floor (17800.5)     		ty = 17800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114057 / 17800 ti = "17/114057/17800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114057/17800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114057 ÷ 217
    114057 ÷ 131072     		x = 0.870185852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17800 ÷ 217
    17800 ÷ 131072     		y = 0.13580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870185852050781 × 2 - 1) × π
    0.740371704101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.32594631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13580322265625 × 2 - 1) × π
    0.7283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.288315840263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32594631} λ = 2.32594631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.288315840263))-π/2
    2×atan(9.85832070547357)-π/2
    2×1.46970495251033-π/2
    2.93940990502067-1.57079632675     		φ = 1.36861358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32594631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.266907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36861358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.415782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114057 KachelY 17800 2.32594631 1.36861358 133.266907 78.415782
    Oben rechts KachelX + 1 114058 KachelY 17800 2.32599424 1.36861358 133.269653 78.415782
    Unten links KachelX 114057 KachelY + 1 17801 2.32594631 1.36860395 133.266907 78.415230
    Unten rechts KachelX + 1 114058 KachelY + 1 17801 2.32599424 1.36860395 133.269653 78.415230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36861358-1.36860395) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dl = 61.3527300005972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36861358-1.36860395) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dr = 61.3527300005972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32594631-2.32599424) × cos(1.36861358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200808093009679 × 6371000     		do = 61.3191669219019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32594631-2.32599424) × cos(1.36860395) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200817526843032 × 6371000     		du = 61.3220476564054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36861358)-sin(1.36860395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200808093009679-0.200817526843032)×R²
    abs(2.32599424-2.32594631)×9.43383335366699e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.43383335366699e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.43383335366699e-06×40589641000000     		ar = 3762.18666264099m²