Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114056 / 17798
↖ ↑ ↗
← N 78.416885°
E133.264160°		 ← 61.33 m → N 78.416885°
E133.266907°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.416333°
E133.264160°		 ← 61.33 m →
3 763 m²		 N 78.416333°
E133.266907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870182037353516 y=0.135791778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870182037353516 × 217)
    floor (0.870182037353516 × 131072)
    floor (114056.5)     		tx = 114056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135791778564453 × 217)
    floor (0.135791778564453 × 131072)
    floor (17798.5)     		ty = 17798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114056 / 17798 ti = "17/114056/17798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114056/17798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114056 ÷ 217
    114056 ÷ 131072     		x = 0.87017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17798 ÷ 217
    17798 ÷ 131072     		y = 0.135787963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87017822265625 × 2 - 1) × π
    0.7403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32589837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135787963867188 × 2 - 1) × π
    0.728424072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28841171406224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32589837} λ = 2.32589837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28841171406224))-π/2
    2×atan(9.85926590544297)-π/2
    2×1.46971457817578-π/2
    2.93942915635156-1.57079632675     		φ = 1.36863283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32589837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36863283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.416885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114056 KachelY 17798 2.32589837 1.36863283 133.264160 78.416885
    Oben rechts KachelX + 1 114057 KachelY 17798 2.32594631 1.36863283 133.266907 78.416885
    Unten links KachelX 114056 KachelY + 1 17799 2.32589837 1.36862320 133.264160 78.416333
    Unten rechts KachelX + 1 114057 KachelY + 1 17799 2.32594631 1.36862320 133.266907 78.416333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36863283-1.36862320) × R
    9.62999999987169e-06 × 6371000     		dl = 61.3527299991825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36863283-1.36862320) × R
    9.62999999987169e-06 × 6371000     		dr = 61.3527299991825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32589837-2.32594631) × cos(1.36863283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20078923508345 × 6371000     		do = 61.3262007093566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32589837-2.32594631) × cos(1.36862320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200798668954028 × 6371000     		du = 61.3290820562589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36863283)-sin(1.36862320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20078923508345-0.200798668954028)×R²
    abs(2.32594631-2.32589837)×9.43387057786294e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43387057786294e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43387057786294e-06×40589641000000     		ar = 3762.61822332769m²