Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114055 / 17960
↖ ↑ ↗
← N 78.327204°
E133.261413°		 ← 61.79 m → N 78.327204°
E133.264160°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.326648°
E133.261413°		 ← 61.80 m →
3 819 m²		 N 78.326648°
E133.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870174407958984 y=0.137027740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870174407958984 × 217)
    floor (0.870174407958984 × 131072)
    floor (114055.5)     		tx = 114055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137027740478516 × 217)
    floor (0.137027740478516 × 131072)
    floor (17960.5)     		ty = 17960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114055 / 17960 ti = "17/114055/17960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114055/17960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114055 ÷ 217
    114055 ÷ 131072     		x = 0.870170593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17960 ÷ 217
    17960 ÷ 131072     		y = 0.13702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870170593261719 × 2 - 1) × π
    0.740341186523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.32585043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13702392578125 × 2 - 1) × π
    0.7259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28064593632379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32585043} λ = 2.32585043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28064593632379))-π/2
    2×atan(9.78299756255118)-π/2
    2×1.46893196305984-π/2
    2.93786392611967-1.57079632675     		φ = 1.36706760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32585043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.261413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36706760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.327204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114055 KachelY 17960 2.32585043 1.36706760 133.261413 78.327204
    Oben rechts KachelX + 1 114056 KachelY 17960 2.32589837 1.36706760 133.264160 78.327204
    Unten links KachelX 114055 KachelY + 1 17961 2.32585043 1.36705790 133.261413 78.326648
    Unten rechts KachelX + 1 114056 KachelY + 1 17961 2.32589837 1.36705790 133.264160 78.326648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36706760-1.36705790) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dl = 61.7986999993014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36706760-1.36705790) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dr = 61.7986999993014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32585043-2.32589837) × cos(1.36706760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20232234174821 × 6371000     		do = 61.7944509469394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32585043-2.32589837) × cos(1.36705790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202331841132825 × 6371000     		du = 61.7973523035149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36706760)-sin(1.36705790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20232234174821-0.202331841132825)×R²
    abs(2.32589837-2.32585043)×9.49938461444755e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.49938461444755e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.49938461444755e-06×40589641000000     		ar = 3818.90638572408m²