Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114055 / 17865
↖ ↑ ↗
← N 78.379877°
E133.261413°		 ← 61.52 m → N 78.379877°
E133.264160°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.379324°
E133.261413°		 ← 61.52 m →
3 782 m²		 N 78.379324°
E133.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870174407958984 y=0.136302947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870174407958984 × 217)
    floor (0.870174407958984 × 131072)
    floor (114055.5)     		tx = 114055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136302947998047 × 217)
    floor (0.136302947998047 × 131072)
    floor (17865.5)     		ty = 17865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114055 / 17865 ti = "17/114055/17865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114055/17865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114055 ÷ 217
    114055 ÷ 131072     		x = 0.870170593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17865 ÷ 217
    17865 ÷ 131072     		y = 0.136299133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870170593261719 × 2 - 1) × π
    0.740341186523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.32585043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136299133300781 × 2 - 1) × π
    0.727401733398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.2851999417877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32585043} λ = 2.32585043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2851999417877))-π/2
    2×atan(9.82765098569878)-π/2
    2×1.46939162575203-π/2
    2.93878325150406-1.57079632675     		φ = 1.36798692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32585043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.261413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36798692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.379877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114055 KachelY 17865 2.32585043 1.36798692 133.261413 78.379877
    Oben rechts KachelX + 1 114056 KachelY 17865 2.32589837 1.36798692 133.264160 78.379877
    Unten links KachelX 114055 KachelY + 1 17866 2.32585043 1.36797727 133.261413 78.379324
    Unten rechts KachelX + 1 114056 KachelY + 1 17866 2.32589837 1.36797727 133.264160 78.379324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36798692-1.36797727) × R
    9.65000000019423e-06 × 6371000     		dl = 61.4801500012374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36798692-1.36797727) × R
    9.65000000019423e-06 × 6371000     		dr = 61.4801500012374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32585043-2.32589837) × cos(1.36798692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201421948851495 × 6371000     		do = 61.5194477801697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32585043-2.32589837) × cos(1.36797727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201431401061197 × 6371000     		du = 61.5223347283125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36798692)-sin(1.36797727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201421948851495-0.201431401061197)×R²
    abs(2.32589837-2.32585043)×9.45220970174909e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.45220970174909e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.45220970174909e-06×40589641000000     		ar = 3782.31362250396m²