Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114051 / 17961
↖ ↑ ↗
← N 78.326648°
E133.250428°		 ← 61.78 m → N 78.326648°
E133.253174°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.326092°
E133.250428°		 ← 61.79 m →
3 818 m²		 N 78.326092°
E133.253174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870143890380859 y=0.137035369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870143890380859 × 217)
    floor (0.870143890380859 × 131072)
    floor (114051.5)     		tx = 114051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137035369873047 × 217)
    floor (0.137035369873047 × 131072)
    floor (17961.5)     		ty = 17961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114051 / 17961 ti = "17/114051/17961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114051/17961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114051 ÷ 217
    114051 ÷ 131072     		x = 0.870140075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17961 ÷ 217
    17961 ÷ 131072     		y = 0.137031555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870140075683594 × 2 - 1) × π
    0.740280151367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.32565869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137031555175781 × 2 - 1) × π
    0.725936889648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.28059799942417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32565869} λ = 2.32565869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28059799942417))-π/2
    2×atan(9.78252860721926)-π/2
    2×1.4689271135931-π/2
    2.9378542271862-1.57079632675     		φ = 1.36705790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32565869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.250428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36705790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.326648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114051 KachelY 17961 2.32565869 1.36705790 133.250428 78.326648
    Oben rechts KachelX + 1 114052 KachelY 17961 2.32570662 1.36705790 133.253174 78.326648
    Unten links KachelX 114051 KachelY + 1 17962 2.32565869 1.36704820 133.250428 78.326092
    Unten rechts KachelX + 1 114052 KachelY + 1 17962 2.32570662 1.36704820 133.253174 78.326092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36705790-1.36704820) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dl = 61.7987000007161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36705790-1.36704820) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dr = 61.7987000007161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32565869-2.32570662) × cos(1.36705790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202331841132825 × 6371000     		do = 61.7844617419946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32565869-2.32570662) × cos(1.36704820) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202341340498402 × 6371000     		du = 61.787362487551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36705790)-sin(1.36704820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202331841132825-0.202341340498402)×R²
    abs(2.32570662-2.32565869)×9.4993655772313e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.4993655772313e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.4993655772313e-06×40589641000000     		ar = 3818.28904700465m²