Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114030 / 17869
↖ ↑ ↗
← N 78.377664°
E133.192749°		 ← 61.53 m → N 78.377664°
E133.195496°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.377111°
E133.192749°		 ← 61.53 m →
3 787 m²		 N 78.377111°
E133.195496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869983673095703 y=0.136333465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869983673095703 × 217)
    floor (0.869983673095703 × 131072)
    floor (114030.5)     		tx = 114030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136333465576172 × 217)
    floor (0.136333465576172 × 131072)
    floor (17869.5)     		ty = 17869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114030 / 17869 ti = "17/114030/17869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114030/17869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114030 ÷ 217
    114030 ÷ 131072     		x = 0.869979858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17869 ÷ 217
    17869 ÷ 131072     		y = 0.136329650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869979858398438 × 2 - 1) × π
    0.739959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32465201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136329650878906 × 2 - 1) × π
    0.727340698242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.28500819418922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32465201} λ = 2.32465201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28500819418922))-π/2
    2×atan(9.82576673787934)-π/2
    2×1.46937231285139-π/2
    2.93874462570279-1.57079632675     		φ = 1.36794830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32465201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.192749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36794830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.377664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114030 KachelY 17869 2.32465201 1.36794830 133.192749 78.377664
    Oben rechts KachelX + 1 114031 KachelY 17869 2.32469995 1.36794830 133.195496 78.377664
    Unten links KachelX 114030 KachelY + 1 17870 2.32465201 1.36793864 133.192749 78.377111
    Unten rechts KachelX + 1 114031 KachelY + 1 17870 2.32469995 1.36793864 133.195496 78.377111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36794830-1.36793864) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dl = 61.5438599994356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36794830-1.36793864) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dr = 61.5438599994356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32465201-2.32469995) × cos(1.36794830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201459777167687 × 6371000     		do = 61.5310015216356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32465201-2.32469995) × cos(1.36793864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201469239097262 × 6371000     		du = 61.5338914384777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36794830)-sin(1.36793864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201459777167687-0.201469239097262)×R²
    abs(2.32469995-2.32465201)×9.46192957454461e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.46192957454461e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.46192957454461e-06×40589641000000     		ar = 3786.94427159947m²