Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11403 / 23672
↖ ↑ ↗
← S 62.226996°
W 54.722901°		 ← 569.25 m → S 62.226996°
W 54.711914°		 →
↑
569.25 m
↓
↑
569.25 m
↓
S 62.232115°
W 54.722901°		 ← 569.15 m →
324 016 m²		 S 62.232115°
W 54.711914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348007202148438 y=0.722427368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348007202148438 × 215)
    floor (0.348007202148438 × 32768)
    floor (11403.5)     		tx = 11403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722427368164062 × 215)
    floor (0.722427368164062 × 32768)
    floor (23672.5)     		ty = 23672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11403 / 23672 ti = "15/11403/23672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11403/23672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11403 ÷ 215
    11403 ÷ 32768     		x = 0.347991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23672 ÷ 215
    23672 ÷ 32768     		y = 0.722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.30401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95509479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39745649772388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95509479} λ = -0.95509479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39745649772388))-π/2
    2×atan(0.247224982225068)-π/2
    2×0.242365181177134-π/2
    0.484730362354268-1.57079632675     		φ = -1.08606596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95509479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.722901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08606596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.226996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11403 KachelY 23672 -0.95509479 -1.08606596 -54.722901 -62.226996
    Oben rechts KachelX + 1 11404 KachelY 23672 -0.95490304 -1.08606596 -54.711914 -62.226996
    Unten links KachelX 11403 KachelY + 1 23673 -0.95509479 -1.08615531 -54.722901 -62.232115
    Unten rechts KachelX + 1 11404 KachelY + 1 23673 -0.95490304 -1.08615531 -54.711914 -62.232115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08606596--1.08615531) × R
    8.93500000000991e-05 × 6371000     		dl = 569.248850000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08606596--1.08615531) × R
    8.93500000000991e-05 × 6371000     		dr = 569.248850000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95509479--0.95490304) × cos(-1.08606596) × R
    0.000191749999999935 × 0.465969804762405 × 6371000     		do = 569.247002812398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95509479--0.95490304) × cos(-1.08615531) × R
    0.000191749999999935 × 0.465890745966899 × 6371000     		du = 569.150421484751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08606596)-sin(-1.08615531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465969804762405-0.465890745966899)×R²
    abs(-0.95490304--0.95509479)×7.90587955056266e-05×R²
    0.000191749999999935×7.90587955056266e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.90587955056266e-05×40589641000000     		ar = 324015.71252769m²