Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114029 / 17937
↖ ↑ ↗
← N 78.339978°
E133.190002°		 ← 61.73 m → N 78.339978°
E133.192749°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.339423°
E133.190002°		 ← 61.73 m →
3 811 m²		 N 78.339423°
E133.192749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869976043701172 y=0.136852264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869976043701172 × 217)
    floor (0.869976043701172 × 131072)
    floor (114029.5)     		tx = 114029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136852264404297 × 217)
    floor (0.136852264404297 × 131072)
    floor (17937.5)     		ty = 17937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114029 / 17937 ti = "17/114029/17937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114029/17937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114029 ÷ 217
    114029 ÷ 131072     		x = 0.869972229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17937 ÷ 217
    17937 ÷ 131072     		y = 0.136848449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869972229003906 × 2 - 1) × π
    0.739944458007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.32460407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136848449707031 × 2 - 1) × π
    0.726303100585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28174848501505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32460407} λ = 2.32460407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28174848501505))-π/2
    2×atan(9.79378974206882)-π/2
    2×1.46904343798265-π/2
    2.9380868759653-1.57079632675     		φ = 1.36729055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32460407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.190002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36729055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.339978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114029 KachelY 17937 2.32460407 1.36729055 133.190002 78.339978
    Oben rechts KachelX + 1 114030 KachelY 17937 2.32465201 1.36729055 133.192749 78.339978
    Unten links KachelX 114029 KachelY + 1 17938 2.32460407 1.36728086 133.190002 78.339423
    Unten rechts KachelX + 1 114030 KachelY + 1 17938 2.32465201 1.36728086 133.192749 78.339423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36729055-1.36728086) × R
    9.69000000017317e-06 × 6371000     		dl = 61.7349900011033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36729055-1.36728086) × R
    9.69000000017317e-06 × 6371000     		dr = 61.7349900011033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32460407-2.32465201) × cos(1.36729055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20210399755442 × 6371000     		do = 61.7277630099765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32460407-2.32465201) × cos(1.36728086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202113487582733 × 6371000     		du = 61.7306615088967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36729055)-sin(1.36728086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20210399755442-0.202113487582733)×R²
    abs(2.32465201-2.32460407)×9.49002831313051e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.49002831313051e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.49002831313051e-06×40589641000000     		ar = 3810.85230162699m²