Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11401 / 5768
↖ ↑ ↗
← N 81.407370°
W117.372437°		 ← 91.27 m → N 81.407370°
W117.366943°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 81.406549°
W117.372437°		 ← 91.27 m →
8 327 m²		 N 81.406549°
W117.366943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173973083496094 y=0.0880203247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173973083496094 × 216)
    floor (0.173973083496094 × 65536)
    floor (11401.5)     		tx = 11401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880203247070312 × 216)
    floor (0.0880203247070312 × 65536)
    floor (5768.5)     		ty = 5768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11401 / 5768 ti = "16/11401/5768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11401/5768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11401 ÷ 216
    11401 ÷ 65536     		x = 0.173965454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5768 ÷ 216
    5768 ÷ 65536     		y = 0.0880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173965454101562 × 2 - 1) × π
    -0.652069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.04853547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0880126953125 × 2 - 1) × π
    0.823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58859257948303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04853547} λ = -2.04853547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58859257948303))-π/2
    2×atan(13.311024204986)-π/2
    2×1.49581148419456-π/2
    2.99162296838911-1.57079632675     		φ = 1.42082664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04853547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.372437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42082664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.407370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11401 KachelY 5768 -2.04853547 1.42082664 -117.372437 81.407370
    Oben rechts KachelX + 1 11402 KachelY 5768 -2.04843959 1.42082664 -117.366943 81.407370
    Unten links KachelX 11401 KachelY + 1 5769 -2.04853547 1.42081232 -117.372437 81.406549
    Unten rechts KachelX + 1 11402 KachelY + 1 5769 -2.04843959 1.42081232 -117.366943 81.406549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42082664-1.42081232) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42082664-1.42081232) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04853547--2.04843959) × cos(1.42082664) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149408159584459 × 6371000     		do = 91.2661954061834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04853547--2.04843959) × cos(1.42081232) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149422318835838 × 6371000     		du = 91.2748446058439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42082664)-sin(1.42081232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149408159584459-0.149422318835838)×R²
    abs(-2.04843959--2.04853547)×1.41592513789313e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41592513789313e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41592513789313e-05×40589641000000     		ar = 8326.85779611349m²