Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11401 / 23701
↖ ↑ ↗
← S 62.375091°
W 54.744873°		 ← 566.42 m → S 62.375091°
W 54.733887°		 →
↑
566.38 m
↓
↑
566.38 m
↓
S 62.380185°
W 54.744873°		 ← 566.33 m →
320 784 m²		 S 62.380185°
W 54.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347946166992188 y=0.723312377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347946166992188 × 215)
    floor (0.347946166992188 × 32768)
    floor (11401.5)     		tx = 11401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723312377929688 × 215)
    floor (0.723312377929688 × 32768)
    floor (23701.5)     		ty = 23701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11401 / 23701 ti = "15/11401/23701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11401/23701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11401 ÷ 215
    11401 ÷ 32768     		x = 0.347930908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23701 ÷ 215
    23701 ÷ 32768     		y = 0.723297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.30413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95547828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.44659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4030171780798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95547828} λ = -0.95547828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4030171780798))-π/2
    2×atan(0.245854058290357)-π/2
    2×0.241072809963155-π/2
    0.482145619926309-1.57079632675     		φ = -1.08865071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95547828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.744873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08865071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.375091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11401 KachelY 23701 -0.95547828 -1.08865071 -54.744873 -62.375091
    Oben rechts KachelX + 1 11402 KachelY 23701 -0.95528654 -1.08865071 -54.733887 -62.375091
    Unten links KachelX 11401 KachelY + 1 23702 -0.95547828 -1.08873961 -54.744873 -62.380185
    Unten rechts KachelX + 1 11402 KachelY + 1 23702 -0.95528654 -1.08873961 -54.733887 -62.380185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08865071--1.08873961) × R
    8.88999999999474e-05 × 6371000     		dl = 566.381899999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08865071--1.08873961) × R
    8.88999999999474e-05 × 6371000     		dr = 566.381899999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95547828--0.95528654) × cos(-1.08865071) × R
    0.000191739999999996 × 0.463681262345148 × 6371000     		do = 566.421688437144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95547828--0.95528654) × cos(-1.08873961) × R
    0.000191739999999996 × 0.463602494927995 × 6371000     		du = 566.325468087001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08865071)-sin(-1.08873961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463681262345148-0.463602494927995)×R²
    abs(-0.95528654--0.95547828)×7.87674171529029e-05×R²
    0.000191739999999996×7.87674171529029e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.87674171529029e-05×40589641000000     		ar = 320783.743576794m²