Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11400 / 23667
↖ ↑ ↗
← S 62.201389°
W 54.755859°		 ← 569.73 m → S 62.201389°
W 54.744873°		 →
↑
569.69 m
↓
↑
569.69 m
↓
S 62.206512°
W 54.755859°		 ← 569.63 m →
324 545 m²		 S 62.206512°
W 54.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347915649414062 y=0.722274780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347915649414062 × 215)
    floor (0.347915649414062 × 32768)
    floor (11400.5)     		tx = 11400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722274780273438 × 215)
    floor (0.722274780273438 × 32768)
    floor (23667.5)     		ty = 23667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11400 / 23667 ti = "15/11400/23667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11400/23667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11400 ÷ 215
    11400 ÷ 32768     		x = 0.347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23667 ÷ 215
    23667 ÷ 32768     		y = 0.722259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.30419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95567003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.44451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39649775973148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95567003} λ = -0.95567003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39649775973148))-π/2
    2×atan(0.247462119866467)-π/2
    2×0.242588647414292-π/2
    0.485177294828584-1.57079632675     		φ = -1.08561903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95567003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.755859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08561903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.201389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11400 KachelY 23667 -0.95567003 -1.08561903 -54.755859 -62.201389
    Oben rechts KachelX + 1 11401 KachelY 23667 -0.95547828 -1.08561903 -54.744873 -62.201389
    Unten links KachelX 11400 KachelY + 1 23668 -0.95567003 -1.08570845 -54.755859 -62.206512
    Unten rechts KachelX + 1 11401 KachelY + 1 23668 -0.95547828 -1.08570845 -54.744873 -62.206512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08561903--1.08570845) × R
    8.94200000001177e-05 × 6371000     		dl = 569.69482000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08561903--1.08570845) × R
    8.94200000001177e-05 × 6371000     		dr = 569.69482000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95567003--0.95547828) × cos(-1.08561903) × R
    0.000191749999999935 × 0.466365202153421 × 6371000     		do = 569.73003578461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95567003--0.95547828) × cos(-1.08570845) × R
    0.000191749999999935 × 0.466286100047518 × 6371000     		du = 569.633401547282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08561903)-sin(-1.08570845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466365202153421-0.466286100047518)×R²
    abs(-0.95547828--0.95567003)×7.91021059028396e-05×R²
    0.000191749999999935×7.91021059028396e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.91021059028396e-05×40589641000000     		ar = 324544.724389407m²