Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1140 / 3219
↖ ↑ ↗
← S 71.159391°
W 79.804688°		 ← 3 156.08 m → S 71.159391°
W 79.716797°		 →
↑
3 153.77 m
↓
↑
3 153.77 m
↓
S 71.187754°
W 79.804688°		 ← 3 151.50 m →
9 946 323 m²		 S 71.187754°
W 79.716797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2784423828125 y=0.7860107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2784423828125 × 212)
    floor (0.2784423828125 × 4096)
    floor (1140.5)     		tx = 1140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7860107421875 × 212)
    floor (0.7860107421875 × 4096)
    floor (3219.5)     		ty = 3219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1140 / 3219 ti = "12/1140/3219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1140/3219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1140 ÷ 212
    1140 ÷ 4096     		x = 0.2783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3219 ÷ 212
    3219 ÷ 4096     		y = 0.785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39285456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39285456} λ = -1.39285456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79629150256274))-π/2
    2×atan(0.165913036805299)-π/2
    2×0.164415326436336-π/2
    0.328830652872672-1.57079632675     		φ = -1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39285456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1140 KachelY 3219 -1.39285456 -1.24196567 -79.804688 -71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 1141 KachelY 3219 -1.39132057 -1.24196567 -79.716797 -71.159391
    Unten links KachelX 1140 KachelY + 1 3220 -1.39285456 -1.24246069 -79.804688 -71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 1141 KachelY + 1 3220 -1.39132057 -1.24246069 -79.716797 -71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24196567--1.24246069) × R
    0.000495020000000013 × 6371000     		dl = 3153.77242000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24196567--1.24246069) × R
    0.000495020000000013 × 6371000     		dr = 3153.77242000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39285456--1.39132057) × cos(-1.24196567) × R
    0.00153398999999999 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 3156.07523079047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39285456--1.39132057) × cos(-1.24246069) × R
    0.00153398999999999 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 3151.49619825167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24196567)-sin(-1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.322468022238295)×R²
    abs(-1.39132057--1.39285456)×0.000468536680250986×R²
    0.00153398999999999×0.000468536680250986×6371000²
    0.00153398999999999×0.000468536680250986×40589641000000     		ar = 9946322.60815423m²