Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1140 / 1188
↖ ↑ ↗
← S 27.683528°
E 20.390625°		 ← 17.308 km → S 27.683528°
E 20.566406°		 →
↑
17.296 km
↓
↑
17.296 km
↓
S 27.839076°
E 20.390625°		 ← 17.284 km →
299.157 km²		 S 27.839076°
E 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556884765625 y=0.580322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556884765625 × 211)
    floor (0.556884765625 × 2048)
    floor (1140.5)     		tx = 1140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580322265625 × 211)
    floor (0.580322265625 × 2048)
    floor (1188.5)     		ty = 1188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1140 / 1188 ti = "11/1140/1188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1140/1188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1140 ÷ 211
    1140 ÷ 2048     		x = 0.556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1188 ÷ 211
    1188 ÷ 2048     		y = 0.580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556640625 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35588354} λ = 0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503145698412109))-π/2
    2×atan(0.604625694972627)-π/2
    2×0.543813806588609-π/2
    1.08762761317722-1.57079632675     		φ = -0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1140 KachelY 1188 0.35588354 -0.48316871 20.390625 -27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 1141 KachelY 1188 0.35895150 -0.48316871 20.566406 -27.683528
    Unten links KachelX 1140 KachelY + 1 1189 0.35588354 -0.48588354 20.390625 -27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 1141 KachelY + 1 1189 0.35895150 -0.48588354 20.566406 -27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48316871--0.48588354) × R
    0.00271483 × 6371000     		dl = 17296.18193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48316871--0.48588354) × R
    0.00271483 × 6371000     		dr = 17296.18193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35588354-0.35895150) × cos(-0.48316871) × R
    0.00306795999999998 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 17308.4914290834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35588354-0.35895150) × cos(-0.48588354) × R
    0.00306795999999998 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 17283.7748074868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48316871)-sin(-0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.884262690120614)×R²
    abs(0.35895150-0.35588354)×0.00126453778454771×R²
    0.00306795999999998×0.00126453778454771×6371000²
    0.00306795999999998×0.00126453778454771×40589641000000     		ar = 299157248.839315m²