Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11399 / 23688
↖ ↑ ↗
← S 62.308794°
W 54.766846°		 ← 567.70 m → S 62.308794°
W 54.755859°		 →
↑
567.66 m
↓
↑
567.66 m
↓
S 62.313899°
W 54.766846°		 ← 567.61 m →
322 233 m²		 S 62.313899°
W 54.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347885131835938 y=0.722915649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347885131835938 × 215)
    floor (0.347885131835938 × 32768)
    floor (11399.5)     		tx = 11399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722915649414062 × 215)
    floor (0.722915649414062 × 32768)
    floor (23688.5)     		ty = 23688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11399 / 23688 ti = "15/11399/23688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11399/23688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11399 ÷ 215
    11399 ÷ 32768     		x = 0.347869873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23688 ÷ 215
    23688 ÷ 32768     		y = 0.722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.30426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95586178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40052445929956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95586178} λ = -0.95586178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40052445929956))-π/2
    2×atan(0.246467667778875)-π/2
    2×0.241651361979595-π/2
    0.483302723959189-1.57079632675     		φ = -1.08749360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95586178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.766846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08749360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.308794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11399 KachelY 23688 -0.95586178 -1.08749360 -54.766846 -62.308794
    Oben rechts KachelX + 1 11400 KachelY 23688 -0.95567003 -1.08749360 -54.755859 -62.308794
    Unten links KachelX 11399 KachelY + 1 23689 -0.95586178 -1.08758270 -54.766846 -62.313899
    Unten rechts KachelX + 1 11400 KachelY + 1 23689 -0.95567003 -1.08758270 -54.755859 -62.313899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08749360--1.08758270) × R
    8.91000000000641e-05 × 6371000     		dl = 567.656100000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08749360--1.08758270) × R
    8.91000000000641e-05 × 6371000     		dr = 567.656100000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95586178--0.95567003) × cos(-1.08749360) × R
    0.000191750000000046 × 0.464706153571727 × 6371000     		do = 567.703276919886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95586178--0.95567003) × cos(-1.08758270) × R
    0.000191750000000046 × 0.464627256799518 × 6371000     		du = 567.606893526256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08749360)-sin(-1.08758270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464706153571727-0.464627256799518)×R²
    abs(-0.95567003--0.95586178)×7.8896772209458e-05×R²
    0.000191750000000046×7.8896772209458e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.8896772209458e-05×40589641000000     		ar = 322232.872036332m²