Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11398 / 5774
↖ ↑ ↗
← N 81.402444°
W117.388916°		 ← 91.31 m → N 81.402444°
W117.383423°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 81.401623°
W117.388916°		 ← 91.32 m →
8 337 m²		 N 81.401623°
W117.383423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173927307128906 y=0.0881118774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173927307128906 × 216)
    floor (0.173927307128906 × 65536)
    floor (11398.5)     		tx = 11398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0881118774414062 × 216)
    floor (0.0881118774414062 × 65536)
    floor (5774.5)     		ty = 5774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11398 / 5774 ti = "16/11398/5774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11398/5774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11398 ÷ 216
    11398 ÷ 65536     		x = 0.173919677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5774 ÷ 216
    5774 ÷ 65536     		y = 0.088104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.65216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.04882309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088104248046875 × 2 - 1) × π
    0.82379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58801733668759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04882309} λ = -2.04882309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58801733668759))-π/2
    2×atan(13.3033693361273)-π/2
    2×1.49576849898784-π/2
    2.99153699797568-1.57079632675     		φ = 1.42074067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04882309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42074067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.402444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11398 KachelY 5774 -2.04882309 1.42074067 -117.388916 81.402444
    Oben rechts KachelX + 1 11399 KachelY 5774 -2.04872722 1.42074067 -117.383423 81.402444
    Unten links KachelX 11398 KachelY + 1 5775 -2.04882309 1.42072634 -117.388916 81.401623
    Unten rechts KachelX + 1 11399 KachelY + 1 5775 -2.04872722 1.42072634 -117.383423 81.401623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42074067-1.42072634) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42074067-1.42072634) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04882309--2.04872722) × cos(1.42074067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1494931640712 × 6371000     		do = 91.3085963132901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04882309--2.04872722) × cos(1.42072634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149507333026189 × 6371000     		du = 91.3172505377111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42074067)-sin(1.42072634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1494931640712-0.149507333026189)×R²
    abs(-2.04872722--2.04882309)×1.41689549890689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41689549890689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41689549890689e-05×40589641000000     		ar = 8336.54392188279m²