Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11398 / 23675
↖ ↑ ↗
← S 62.242350°
W 54.777832°		 ← 568.96 m → S 62.242350°
W 54.766846°		 →
↑
568.93 m
↓
↑
568.93 m
↓
S 62.247466°
W 54.777832°		 ← 568.86 m →
323 670 m²		 S 62.247466°
W 54.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347854614257812 y=0.722518920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347854614257812 × 215)
    floor (0.347854614257812 × 32768)
    floor (11398.5)     		tx = 11398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722518920898438 × 215)
    floor (0.722518920898438 × 32768)
    floor (23675.5)     		ty = 23675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11398 / 23675 ti = "15/11398/23675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11398/23675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11398 ÷ 215
    11398 ÷ 32768     		x = 0.34783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23675 ÷ 215
    23675 ÷ 32768     		y = 0.722503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95605353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.44500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39803174051932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95605353} λ = -0.95605353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39803174051932))-π/2
    2×atan(0.24708280873125)-π/2
    2×0.242231192394702-π/2
    0.484462384789405-1.57079632675     		φ = -1.08633394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95605353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08633394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.242350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11398 KachelY 23675 -0.95605353 -1.08633394 -54.777832 -62.242350
    Oben rechts KachelX + 1 11399 KachelY 23675 -0.95586178 -1.08633394 -54.766846 -62.242350
    Unten links KachelX 11398 KachelY + 1 23676 -0.95605353 -1.08642324 -54.777832 -62.247466
    Unten rechts KachelX + 1 11399 KachelY + 1 23676 -0.95586178 -1.08642324 -54.766846 -62.247466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08633394--1.08642324) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dl = 568.930299999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08633394--1.08642324) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dr = 568.930299999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95605353--0.95586178) × cos(-1.08633394) × R
    0.000191750000000046 × 0.465732679163095 × 6371000     		do = 568.957320873431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95605353--0.95586178) × cos(-1.08642324) × R
    0.000191750000000046 × 0.465653653462541 × 6371000     		du = 568.860779975875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08633394)-sin(-1.08642324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465732679163095-0.465653653462541)×R²
    abs(-0.95586178--0.95605353)×7.90257005542361e-05×R²
    0.000191750000000046×7.90257005542361e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.90257005542361e-05×40589641000000     		ar = 323669.596945812m²