Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11398 / 23671
↖ ↑ ↗
← S 62.221876°
W 54.777832°		 ← 569.34 m → S 62.221876°
W 54.766846°		 →
↑
569.25 m
↓
↑
569.25 m
↓
S 62.226996°
W 54.777832°		 ← 569.25 m →
324 071 m²		 S 62.226996°
W 54.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347854614257812 y=0.722396850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347854614257812 × 215)
    floor (0.347854614257812 × 32768)
    floor (11398.5)     		tx = 11398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722396850585938 × 215)
    floor (0.722396850585938 × 32768)
    floor (23671.5)     		ty = 23671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11398 / 23671 ti = "15/11398/23671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11398/23671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11398 ÷ 215
    11398 ÷ 32768     		x = 0.34783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23671 ÷ 215
    23671 ÷ 32768     		y = 0.722381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95605353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.44476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3972647501254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95605353} λ = -0.95605353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3972647501254))-π/2
    2×atan(0.247272391566863)-π/2
    2×0.242409859262111-π/2
    0.484819718524221-1.57079632675     		φ = -1.08597661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95605353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08597661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.221876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11398 KachelY 23671 -0.95605353 -1.08597661 -54.777832 -62.221876
    Oben rechts KachelX + 1 11399 KachelY 23671 -0.95586178 -1.08597661 -54.766846 -62.221876
    Unten links KachelX 11398 KachelY + 1 23672 -0.95605353 -1.08606596 -54.777832 -62.226996
    Unten rechts KachelX + 1 11399 KachelY + 1 23672 -0.95586178 -1.08606596 -54.766846 -62.226996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08597661--1.08606596) × R
    8.93500000000991e-05 × 6371000     		dl = 569.248850000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08597661--1.08606596) × R
    8.93500000000991e-05 × 6371000     		dr = 569.248850000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95605353--0.95586178) × cos(-1.08597661) × R
    0.000191750000000046 × 0.466048859837877 × 6371000     		do = 569.343579595836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95605353--0.95586178) × cos(-1.08606596) × R
    0.000191750000000046 × 0.465969804762405 × 6371000     		du = 569.247002812728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08597661)-sin(-1.08606596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466048859837877-0.465969804762405)×R²
    abs(-0.95586178--0.95605353)×7.90550754717345e-05×R²
    0.000191750000000046×7.90550754717345e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.90550754717345e-05×40589641000000     		ar = 324070.690044676m²