Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113971 / 17811
↖ ↑ ↗
← N 78.409713°
E133.030701°		 ← 61.36 m → N 78.409713°
E133.033447°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.409161°
E133.030701°		 ← 61.37 m →
3 765 m²		 N 78.409161°
E133.033447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869533538818359 y=0.135890960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869533538818359 × 217)
    floor (0.869533538818359 × 131072)
    floor (113971.5)     		tx = 113971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135890960693359 × 217)
    floor (0.135890960693359 × 131072)
    floor (17811.5)     		ty = 17811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113971 / 17811 ti = "17/113971/17811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113971/17811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113971 ÷ 217
    113971 ÷ 131072     		x = 0.869529724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17811 ÷ 217
    17811 ÷ 131072     		y = 0.135887145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869529724121094 × 2 - 1) × π
    0.739059448242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.32182373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135887145996094 × 2 - 1) × π
    0.728225708007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.28778853436718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32182373} λ = 2.32182373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28778853436718))-π/2
    2×atan(9.85312372516229)-π/2
    2×1.46965199518752-π/2
    2.93930399037503-1.57079632675     		φ = 1.36850766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32182373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.030701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36850766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.409713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113971 KachelY 17811 2.32182373 1.36850766 133.030701 78.409713
    Oben rechts KachelX + 1 113972 KachelY 17811 2.32187167 1.36850766 133.033447 78.409713
    Unten links KachelX 113971 KachelY + 1 17812 2.32182373 1.36849803 133.030701 78.409161
    Unten rechts KachelX + 1 113972 KachelY + 1 17812 2.32187167 1.36849803 133.033447 78.409161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36850766-1.36849803) × R
    9.62999999987169e-06 × 6371000     		dl = 61.3527299991825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36850766-1.36849803) × R
    9.62999999987169e-06 × 6371000     		dr = 61.3527299991825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32182373-2.32187167) × cos(1.36850766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200911854356055 × 6371000     		do = 61.36365179143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32182373-2.32187167) × cos(1.36849803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200921287984524 × 6371000     		du = 61.3665330643862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36850766)-sin(1.36849803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200911854356055-0.200921287984524)×R²
    abs(2.32187167-2.32182373)×9.43362846952955e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43362846952955e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43362846952955e-06×40589641000000     		ar = 3764.91594720618m²