Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11397 / 5771
↖ ↑ ↗
← N 81.404907°
W117.394409°		 ← 91.28 m → N 81.404907°
W117.388916°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 81.404086°
W117.394409°		 ← 91.29 m →
8 334 m²		 N 81.404086°
W117.388916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173912048339844 y=0.0880661010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173912048339844 × 216)
    floor (0.173912048339844 × 65536)
    floor (11397.5)     		tx = 11397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880661010742188 × 216)
    floor (0.0880661010742188 × 65536)
    floor (5771.5)     		ty = 5771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11397 / 5771 ti = "16/11397/5771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11397/5771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11397 ÷ 216
    11397 ÷ 65536     		x = 0.173904418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5771 ÷ 216
    5771 ÷ 65536     		y = 0.0880584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173904418945312 × 2 - 1) × π
    -0.652191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.04891896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0880584716796875 × 2 - 1) × π
    0.823883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58830495808531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04891896} λ = -2.04891896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58830495808531))-π/2
    2×atan(13.3071962201306)-π/2
    2×1.49578999464735-π/2
    2.9915799892947-1.57079632675     		φ = 1.42078366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04891896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.394409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42078366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.404907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11397 KachelY 5771 -2.04891896 1.42078366 -117.394409 81.404907
    Oben rechts KachelX + 1 11398 KachelY 5771 -2.04882309 1.42078366 -117.388916 81.404907
    Unten links KachelX 11397 KachelY + 1 5772 -2.04891896 1.42076933 -117.394409 81.404086
    Unten rechts KachelX + 1 11398 KachelY + 1 5772 -2.04882309 1.42076933 -117.388916 81.404086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42078366-1.42076933) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42078366-1.42076933) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04891896--2.04882309) × cos(1.42078366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149450657022054 × 6371000     		do = 91.2826335275335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04891896--2.04882309) × cos(1.42076933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14946482606913 × 6371000     		du = 91.2912878081995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42078366)-sin(1.42076933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149450657022054-0.14946482606913)×R²
    abs(-2.04882309--2.04891896)×1.41690470751021e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41690470751021e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41690470751021e-05×40589641000000     		ar = 8334.17361498736m²