Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113967 / 17155
↖ ↑ ↗
← N 78.766187°
E133.019715°		 ← 59.49 m → N 78.766187°
E133.022461°		 →
↑
59.51 m
↓
↑
59.51 m
↓
N 78.765652°
E133.019715°		 ← 59.49 m →
3 540 m²		 N 78.765652°
E133.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869503021240234 y=0.130886077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869503021240234 × 217)
    floor (0.869503021240234 × 131072)
    floor (113967.5)     		tx = 113967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130886077880859 × 217)
    floor (0.130886077880859 × 131072)
    floor (17155.5)     		ty = 17155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113967 / 17155 ti = "17/113967/17155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113967/17155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113967 ÷ 217
    113967 ÷ 131072     		x = 0.869499206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17155 ÷ 217
    17155 ÷ 131072     		y = 0.130882263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869499206542969 × 2 - 1) × π
    0.738998413085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.32163199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130882263183594 × 2 - 1) × π
    0.738235473632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.31923514051794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32163199} λ = 2.32163199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31923514051794))-π/2
    2×atan(10.167894320771)-π/2
    2×1.47276281161519-π/2
    2.94552562323037-1.57079632675     		φ = 1.37472930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32163199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.019715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37472930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.766187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113967 KachelY 17155 2.32163199 1.37472930 133.019715 78.766187
    Oben rechts KachelX + 1 113968 KachelY 17155 2.32167992 1.37472930 133.022461 78.766187
    Unten links KachelX 113967 KachelY + 1 17156 2.32163199 1.37471996 133.019715 78.765652
    Unten rechts KachelX + 1 113968 KachelY + 1 17156 2.32167992 1.37471996 133.022461 78.765652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37472930-1.37471996) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dl = 59.5051400005087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37472930-1.37471996) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dr = 59.5051400005087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32163199-2.32167992) × cos(1.37472930) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.194813228608199 × 6371000     		do = 59.488562958139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32163199-2.32167992) × cos(1.37471996) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.194822389648636 × 6371000     		du = 59.4913603920438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37472930)-sin(1.37471996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194813228608199-0.194822389648636)×R²
    abs(2.32167992-2.32163199)×9.16104043718891e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.16104043718891e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.16104043718891e-06×40589641000000     		ar = 3539.95849800809m²