Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113957 / 17199
↖ ↑ ↗
← N 78.742619°
E132.992249°		 ← 59.61 m → N 78.742619°
E132.994995°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.742083°
E132.992249°		 ← 59.61 m →
3 555 m²		 N 78.742083°
E132.994995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869426727294922 y=0.131221771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869426727294922 × 217)
    floor (0.869426727294922 × 131072)
    floor (113957.5)     		tx = 113957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131221771240234 × 217)
    floor (0.131221771240234 × 131072)
    floor (17199.5)     		ty = 17199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113957 / 17199 ti = "17/113957/17199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113957/17199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113957 ÷ 217
    113957 ÷ 131072     		x = 0.869422912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17199 ÷ 217
    17199 ÷ 131072     		y = 0.131217956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869422912597656 × 2 - 1) × π
    0.738845825195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.32115262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131217956542969 × 2 - 1) × π
    0.737564086914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31712591693465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32115262} λ = 2.32115262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31712591693465))-π/2
    2×atan(10.1464705599706)-π/2
    2×1.47255714662152-π/2
    2.94511429324304-1.57079632675     		φ = 1.37431797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32115262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.992249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37431797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.742619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113957 KachelY 17199 2.32115262 1.37431797 132.992249 78.742619
    Oben rechts KachelX + 1 113958 KachelY 17199 2.32120055 1.37431797 132.994995 78.742619
    Unten links KachelX 113957 KachelY + 1 17200 2.32115262 1.37430861 132.992249 78.742083
    Unten rechts KachelX + 1 113958 KachelY + 1 17200 2.32120055 1.37430861 132.994995 78.742083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37431797-1.37430861) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dl = 59.6325600011489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37431797-1.37430861) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dr = 59.6325600011489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32115262-2.32120055) × cos(1.37431797) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19521666118042 × 6371000     		do = 59.6117559479117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32115262-2.32120055) × cos(1.37430861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195225841086793 × 6371000     		du = 59.6145591427571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37431797)-sin(1.37430861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19521666118042-0.195225841086793)×R²
    abs(2.32120055-2.32115262)×9.17990637325228e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.17990637325228e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.17990637325228e-06×40589641000000     		ar = 3554.88519427116m²