Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11395 / 23686
↖ ↑ ↗
← S 62.298581°
W 54.810791°		 ← 567.90 m → S 62.298581°
W 54.799805°		 →
↑
567.85 m
↓
↑
567.85 m
↓
S 62.303688°
W 54.810791°		 ← 567.80 m →
322 451 m²		 S 62.303688°
W 54.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347763061523438 y=0.722854614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347763061523438 × 215)
    floor (0.347763061523438 × 32768)
    floor (11395.5)     		tx = 11395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722854614257812 × 215)
    floor (0.722854614257812 × 32768)
    floor (23686.5)     		ty = 23686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11395 / 23686 ti = "15/11395/23686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11395/23686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11395 ÷ 215
    11395 ÷ 32768     		x = 0.347747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23686 ÷ 215
    23686 ÷ 32768     		y = 0.72283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.30450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95662877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4001409641026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95662877} λ = -0.95662877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4001409641026))-π/2
    2×atan(0.246562205071815)-π/2
    2×0.241740483398281-π/2
    0.483480966796562-1.57079632675     		φ = -1.08731536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95662877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08731536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.298581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11395 KachelY 23686 -0.95662877 -1.08731536 -54.810791 -62.298581
    Oben rechts KachelX + 1 11396 KachelY 23686 -0.95643702 -1.08731536 -54.799805 -62.298581
    Unten links KachelX 11395 KachelY + 1 23687 -0.95662877 -1.08740449 -54.810791 -62.303688
    Unten rechts KachelX + 1 11396 KachelY + 1 23687 -0.95643702 -1.08740449 -54.799805 -62.303688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08731536--1.08740449) × R
    8.91299999998818e-05 × 6371000     		dl = 567.847229999247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08731536--1.08740449) × R
    8.91299999998818e-05 × 6371000     		dr = 567.847229999247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95662877--0.95643702) × cos(-1.08731536) × R
    0.000191750000000046 × 0.464863971463163 × 6371000     		do = 567.896073450416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95662877--0.95643702) × cos(-1.08740449) × R
    0.000191750000000046 × 0.464785055508958 × 6371000     		du = 567.799666623308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08731536)-sin(-1.08740449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464863971463163-0.464785055508958)×R²
    abs(-0.95643702--0.95662877)×7.8915954204728e-05×R²
    0.000191750000000046×7.8915954204728e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.8915954204728e-05×40589641000000     		ar = 322450.840275124m²