Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113947 / 17185
↖ ↑ ↗
← N 78.750123°
E132.964783°		 ← 59.57 m → N 78.750123°
E132.967529°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.749587°
E132.964783°		 ← 59.58 m →
3 553 m²		 N 78.749587°
E132.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869350433349609 y=0.131114959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869350433349609 × 217)
    floor (0.869350433349609 × 131072)
    floor (113947.5)     		tx = 113947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131114959716797 × 217)
    floor (0.131114959716797 × 131072)
    floor (17185.5)     		ty = 17185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113947 / 17185 ti = "17/113947/17185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113947/17185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113947 ÷ 217
    113947 ÷ 131072     		x = 0.869346618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17185 ÷ 217
    17185 ÷ 131072     		y = 0.131111145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869346618652344 × 2 - 1) × π
    0.738693237304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.32067325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131111145019531 × 2 - 1) × π
    0.737777709960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.31779703352933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32067325} λ = 2.32067325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31779703352933))-π/2
    2×atan(10.1532823102245)-π/2
    2×1.47262263163931-π/2
    2.94524526327863-1.57079632675     		φ = 1.37444894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32067325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.964783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37444894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.750123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113947 KachelY 17185 2.32067325 1.37444894 132.964783 78.750123
    Oben rechts KachelX + 1 113948 KachelY 17185 2.32072118 1.37444894 132.967529 78.750123
    Unten links KachelX 113947 KachelY + 1 17186 2.32067325 1.37443958 132.964783 78.749587
    Unten rechts KachelX + 1 113948 KachelY + 1 17186 2.32072118 1.37443958 132.967529 78.749587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37444894-1.37443958) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37444894-1.37443958) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32067325-2.32072118) × cos(1.37444894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195088209350763 × 6371000     		do = 59.5725316364504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32067325-2.32072118) × cos(1.37443958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195097389496375 × 6371000     		du = 59.5753349043502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37444894)-sin(1.37443958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195088209350763-0.195097389496375)×R²
    abs(2.32072118-2.32067325)×9.18014561199221e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.18014561199221e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.18014561199221e-06×40589641000000     		ar = 3552.54615029413m²